En mathématiques, et plus précisément en analyse, le théorème dit de Cauchy-Lipschitz, (ou de Picard–Lindelöf chez les anglophones) concerne les solutions d'une équation différentielle.

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  • En mathématiques, et plus précisément en analyse, le théorème dit de Cauchy-Lipschitz, (ou de Picard–Lindelöf chez les anglophones) concerne les solutions d'une équation différentielle. Sous certaines hypothèses de régularité de la fonction définissant l'équation, le théorème garantit l'unicité d'une solution répondant à une condition initiale dite de Cauchy et l'existence d'une solution maximale.Certaines lois physiques, comme le principe fondamental de la dynamique, se traduisent par des équations différentielles vérifiant les hypothèses du théorème. Ce dernier assure alors le caractère déterministe du mécanisme décrit par la loi. Ce déterminisme ne se traduit pas toujours par une possibilité de prédiction, la théorie du chaos montre l'existence de possibles phénomènes fortuits.Selon les auteurs, le théorème de Cauchy-Lipschitz s'exprime de manière plus ou moins forte. Sous une forme plus élaborée, ce théorème assure que la solution varie continûment si la condition initiale est modifiée, et il en est de même si la fonction définissant l'équation dépend continûment d'un paramètre. Si l'équation est définie par une fonction de classe Cp, la solution est de classe Cp + 1. Ce théorème peut encore être généralisé au cas où l'équation différentielle n'est plus à valeurs dans un espace vectoriel, mais dans une variété différentielle.Une première version est démontrée par Augustin-Louis Cauchy durant la première moitié du XIXe siècle, à l'aide d'une technique d'approximation découverte par Leonhard Euler au siècle précédent. Rudolf Lipschitz généralise l'énoncé en élargissant un peu la classe des équations qui s'y rapportent. Le théorème n'en reste pas moins uniquement un résultat d'existence locale. C'est à la fin de ce siècle que les techniques de démonstration, ainsi que l'énoncé du théorème, sont profondément modifiés. À la suite des travaux de Lazarus Fuchs, les mathématiciens Émile Picard, Paul Painlevé et Henri Poincaré développent une version moderne de l'analyse des équations différentielles. Cette vision permet d'apporter des éléments de réponse sur les solutions maximales, l'unicité et la régularité de la solution. Une version relativement moderne est publiée en 1894 par Ernst Lindelöf. Le théorème se démontre maintenant généralement à l'aide d'un théorème du point fixe et d'une approche topologique, classique en analyse fonctionnelle.
  • El teorema de Picard-Lindelöf (muchas veces llamado simplemente teorema de Picard, otras teorema de Cauchy-Lipschitz o teorema de existencia y unicidad) es un resultado matemático de gran importancia dentro del estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs). Establece bajo qué condiciones puede asegurarse la existencia y unicidad de solución de una EDO dado un problema de Cauchy (problema de valor inicial).
  • 동역학계 이론에서, 피카르-린델뢰프 정리(영어: Picard–Lindelöf theorem)는 초기 조건 문제의 해의 존재에 대한 정리이다.
  • Twierdzenie Picarda – twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań zagadnienia Cauchy'ego. Podawane jest także jako twierdzenie Picarda–Lindelöfa lub twierdzenie Cauchy'ego-Lipschitza. Nazwa twierdzenia ma uhonorować Charlesa Picarda, a w innym wersjach także Ernsta Lindelöfa, Rudolpha Lipschitza i Augustina Cauchy'ego.
  • El teorema de Picard-Lindelof (de vegades anomenat simplement teorema de Picard , altres teorema de Cauchy-Lipschitz ) és un resultat matemàtic de gran importància dins de l'estudi de les equacions diferencials ordinàries (EDO 's). Estableix sota quines condicions pot assegurar-se l'existència i unicitat de solució d'una EDO donat un problema de Cauchy (problema de valor inicial).
  • In de studie van differentiaalvergelijkingen, een deelgebied van de wiskunde, is de stelling van Picard-Lindelöf, de existentiestelling van Picard of de stelling van Cauchy-Lipschitz een belangrijke stelling over het bestaan en de uniciteit van oplossingen voor bepaalde beginwaardeproblemen.De stelling is genoemd naar Charles Émile Picard, Ernst Lindelöf, Rudolf Lipschitz en Augustin-Louis Cauchy.
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  • Nicole Berline et Claude Sabbah
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  • *Lemme1 — Soit u une fonction de F, Φu est continue. Montrons qu'elle prend ses valeurs dans B. *Lemme 2 — Soient u et v deux fonctions de F, déterminons la distance entre leurs deux images par Φ. Soit t un élément de [–b, b] :Par choix de b, le réel bk est strictement plus petit que 1, ce qui montre le caractère contractant de Φ. *Lemme 3 — Soit une solution définie par exemple sur un intervalle [0, ε] et qui sort de B, montons que ε > b. Soit t le dernier instant où elle est encore dans B depuis l'instant initial :donc ε > t ≥ a/m ≥ b.
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  • Paul Malliavin
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  • Cahier du séminaire d'histoire des mathématiques
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  • Analyse Réelle
  • Analysis II
  • Calcul différentiel et géométrie
  • Démonstration des trois lemmes
  • Géométrie différentielle intrinsèque
  • L'épreuve d'exposé au CAPES mathématiques
  • Topologie, analyse et calcul différentiel
  • Équations différentielles de fonctions de variable réelle ou complexe
  • Équations différentielles
  • Problème de Cauchy pour les équations différentielles et théorie de l'intégration : influences mutuelles
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  • En mathématiques, et plus précisément en analyse, le théorème dit de Cauchy-Lipschitz, (ou de Picard–Lindelöf chez les anglophones) concerne les solutions d'une équation différentielle.
  • El teorema de Picard-Lindelöf (muchas veces llamado simplemente teorema de Picard, otras teorema de Cauchy-Lipschitz o teorema de existencia y unicidad) es un resultado matemático de gran importancia dentro del estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs). Establece bajo qué condiciones puede asegurarse la existencia y unicidad de solución de una EDO dado un problema de Cauchy (problema de valor inicial).
  • 동역학계 이론에서, 피카르-린델뢰프 정리(영어: Picard–Lindelöf theorem)는 초기 조건 문제의 해의 존재에 대한 정리이다.
  • Twierdzenie Picarda – twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań zagadnienia Cauchy'ego. Podawane jest także jako twierdzenie Picarda–Lindelöfa lub twierdzenie Cauchy'ego-Lipschitza. Nazwa twierdzenia ma uhonorować Charlesa Picarda, a w innym wersjach także Ernsta Lindelöfa, Rudolpha Lipschitza i Augustina Cauchy'ego.
  • El teorema de Picard-Lindelof (de vegades anomenat simplement teorema de Picard , altres teorema de Cauchy-Lipschitz ) és un resultat matemàtic de gran importància dins de l'estudi de les equacions diferencials ordinàries (EDO 's). Estableix sota quines condicions pot assegurar-se l'existència i unicitat de solució d'una EDO donat un problema de Cauchy (problema de valor inicial).
  • In de studie van differentiaalvergelijkingen, een deelgebied van de wiskunde, is de stelling van Picard-Lindelöf, de existentiestelling van Picard of de stelling van Cauchy-Lipschitz een belangrijke stelling over het bestaan en de uniciteit van oplossingen voor bepaalde beginwaardeproblemen.De stelling is genoemd naar Charles Émile Picard, Ernst Lindelöf, Rudolf Lipschitz en Augustin-Louis Cauchy.
  • In mathematics, in the study of differential equations, the Picard–Lindelöf theorem, Picard's existence theorem or Cauchy–Lipschitz theorem is an important theorem on existence and uniqueness of solutions to first-order equations with given initial conditions.The theorem is named after Émile Picard, Ernst Lindelöf, Rudolf Lipschitz and Augustin-Louis Cauchy.Consider the initial value problemSuppose f is Lipschitz continuous in y and continuous in t.
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  • Théorème de Cauchy-Lipschitz
  • Teorema di esistenza e unicità per un problema di Cauchy
  • Picardova–Lindelöfova věta
  • Picard–Lindelöf theorem
  • Satz von Picard-Lindelöf
  • Stelling van Picard-Lindelöf
  • Teorema de Picard-Lindelöf
  • Teorema de Picard-Lindelöf
  • Teorema de Picard-Lindelöf
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  • 피카르-린델뢰프 정리
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