En mathématiques, le théorème de Bachet-Bézout ou identité de Bézout est un résultat d'arithmétique élémentaire, qui prouve l'existence de solutions à l'équation diophantienne linéaire :ax + by = pgcd(a, b)d'inconnues x et y entiers relatifs et où a, b sont des coefficients entiers relatifs et où pgcd(a, b) est le plus grand commun diviseur de a et b.Le théorème de Bézout affirme que l'équation ax + by = 1 admet des solutions si et seulement si les entiers relatifs a et b sont premiers entre eux.La première démonstration actuellement connue de ce théorème est due à Claude-Gaspard Bachet de Méziriac ; elle figure dans la seconde édition de son ouvrage Problèmes plaisans et délectables qui se font par les nombres, parue en 1624.

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  • En mathématiques, le théorème de Bachet-Bézout ou identité de Bézout est un résultat d'arithmétique élémentaire, qui prouve l'existence de solutions à l'équation diophantienne linéaire :ax + by = pgcd(a, b)d'inconnues x et y entiers relatifs et où a, b sont des coefficients entiers relatifs et où pgcd(a, b) est le plus grand commun diviseur de a et b.Le théorème de Bézout affirme que l'équation ax + by = 1 admet des solutions si et seulement si les entiers relatifs a et b sont premiers entre eux.La première démonstration actuellement connue de ce théorème est due à Claude-Gaspard Bachet de Méziriac ; elle figure dans la seconde édition de son ouvrage Problèmes plaisans et délectables qui se font par les nombres, parue en 1624. Cependant, le mathématicien Étienne Bézout a généralisé ce résultat, notamment aux polynômes. Bourbaki, dans les Éléments d’histoire des mathématiques, énonce le résultat sur un anneau principal quelconque et lui donne le nom de « théorème de Bézout ».
  • В теории чисел соотноше́ние Безу́ — соотношение между парой целых чисел и их наибольшим общим делителем, названное в честь французского математика Этьена Безу:Другими словами, наибольший общий делитель чисел a, b можно всегда представить как линейную комбинацию a и b с целыми коэффициентами.Соотношение НОД(a,b) = x·a + y·b называется соотношением Безу (для чисел a и b), а целые числа x, y — коэффициентами Безу.
  • La identitat de Bézout, anomenada a partir del matemàtic francès Étienne Bézout, és una equació diofàntica lineal. Afirma que si a i b són enters (com a mínim un diferent de zero) amb màxim comú divisor d, llavors existeixen enters x i y tals queax + by = d. Els x i y es poden determinar amb l'algorisme d'Euclides ampliat però no estan determinats unívocament. Aquestes parelles de nombres x i y s'anomenen nombres de Bézout.Per exemple, el màxim comú divisor de 12 i 42 és 6, i podem escriure(−3)⋅12 + 1⋅42 = 6i també4⋅12 + (−1)⋅42 = 6.El màxim comú divisor d de a i b és, de fet, l'enter positiu més petit que es pot escriure de la forma ax + by.La identitat de Bézout és vàlida no només a l'anell dels nombres enters, sinó també en qualsevol altre anell principal. Si A és principal, a i b són elements de A i d és el màxim comú divisor de a i b,llavors existeixen elements x, y de A tals que xa + yb = d. El motiu és que l'ideal Aa + Ab és principal i igual a Ad.
  • Em matemática, particularmente em teoria dos números, a identidade de Bézout, também chamada lema de Bézout, teorema de Bézout ou ainda teorema de Bachet-Bézout, consiste da seguinte afirmação sobre inteiros:Dados inteiros a e b, não ambos nulos, existem inteiros m e n tais que am + bn = mdc(a, b).Como consequência imediata da identidade de Bézout, temos que se c é um inteiro que divide a e b, então c também divide mdc(a, b). Ora, se m, n são inteiros tais que am + bn = mdc(a, b) e q1, q2 inteiros tais que a = q1c e b = q2c, então (q1m + q2n)c = mdc(a, b), ou seja, c divide mdc(a, b). Um outro corolário da identidade de Bézout afirma que a equação diofantina linear ax + by = c tem solução se mdc(a, b) divide c. Realmente, tem-se pela identidade de Bézout que existem inteiros m, n tais que am + bn = mdc(a, b) e, assim, desde que c = q mdc(a, b), q(am + bn) = a(qm) + b(qn) = q mdc(a, b) = c, isto é, (qm, qn) é solução da equação diofantina linear.O matemático francês Étienne Bézout (1730 – 1783), cujo nome do lema está associado, provou o análogo do resultado para polinômios. Foi Claude Gaspard Bachet de Méziriac (1581 – 1638), outro matemático francês, quem provou a identidade para números inteiros.
  • Bézout's identity (also called Bézout's lemma) is a theorem in the elementary theory of numbers: let a and b be integers, not both zero, and let d be their greatest common divisor. Then there exist integers x and y such that In addition, i) d is the smallest positive integer that can be written as ax + by,and ii) every integer of the form ax + by is a multiple of d. x and y are called Bézout coefficients for (a, b); they are not unique. A pair of Bézout coefficients can be computed by the extended Euclidean algorithm. If both a and b are nonzero, the extended Euclidean algorithm produces one of the two pairs such that and Bézout's lemma is true in any principal ideal domain, but there are integral domains in which it is not true.
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  • En mathématiques, le théorème de Bachet-Bézout ou identité de Bézout est un résultat d'arithmétique élémentaire, qui prouve l'existence de solutions à l'équation diophantienne linéaire :ax + by = pgcd(a, b)d'inconnues x et y entiers relatifs et où a, b sont des coefficients entiers relatifs et où pgcd(a, b) est le plus grand commun diviseur de a et b.Le théorème de Bézout affirme que l'équation ax + by = 1 admet des solutions si et seulement si les entiers relatifs a et b sont premiers entre eux.La première démonstration actuellement connue de ce théorème est due à Claude-Gaspard Bachet de Méziriac ; elle figure dans la seconde édition de son ouvrage Problèmes plaisans et délectables qui se font par les nombres, parue en 1624.
  • В теории чисел соотноше́ние Безу́ — соотношение между парой целых чисел и их наибольшим общим делителем, названное в честь французского математика Этьена Безу:Другими словами, наибольший общий делитель чисел a, b можно всегда представить как линейную комбинацию a и b с целыми коэффициентами.Соотношение НОД(a,b) = x·a + y·b называется соотношением Безу (для чисел a и b), а целые числа x, y — коэффициентами Безу.
  • Bézout's identity (also called Bézout's lemma) is a theorem in the elementary theory of numbers: let a and b be integers, not both zero, and let d be their greatest common divisor. Then there exist integers x and y such that In addition, i) d is the smallest positive integer that can be written as ax + by,and ii) every integer of the form ax + by is a multiple of d. x and y are called Bézout coefficients for (a, b); they are not unique.
  • La identitat de Bézout, anomenada a partir del matemàtic francès Étienne Bézout, és una equació diofàntica lineal. Afirma que si a i b són enters (com a mínim un diferent de zero) amb màxim comú divisor d, llavors existeixen enters x i y tals queax + by = d. Els x i y es poden determinar amb l'algorisme d'Euclides ampliat però no estan determinats unívocament.
  • Em matemática, particularmente em teoria dos números, a identidade de Bézout, também chamada lema de Bézout, teorema de Bézout ou ainda teorema de Bachet-Bézout, consiste da seguinte afirmação sobre inteiros:Dados inteiros a e b, não ambos nulos, existem inteiros m e n tais que am + bn = mdc(a, b).Como consequência imediata da identidade de Bézout, temos que se c é um inteiro que divide a e b, então c também divide mdc(a, b).
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  • Théorème de Bachet-Bézout
  • Bézout's identity
  • Bézoutova rovnost
  • Identidad de Bézout
  • Identidade de Bézout
  • Identitat de Bézout
  • Identità di Bézout
  • Lemma von Bézout
  • Stelling van Bachet-Bézout
  • Tożsamość Bézouta
  • Соотношение Безу
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