En mathématiques, le symbole de Hilbert est une application algébrique permettant de tester les solutions de certaines équations algébriques, particulièrement dans les corps de nombres p-adiques, mais aussi un objet permettant de formuler certaines lois de réciprocité (en), et intéressant pour la théorie des corps de classes ; enfin, c'est un cas particulier de la notion de symbole sur un corps, qui est un concept important en K-théorie algébrique.Le symbole de Hilbert (a, b)2 de deux éléments non nuls a et b d'un corps K est 1 ou –1, suivant que l'équation ax2 + by2 = 1 admet ou non une solution (x, y) dans K.

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  • En mathématiques, le symbole de Hilbert est une application algébrique permettant de tester les solutions de certaines équations algébriques, particulièrement dans les corps de nombres p-adiques, mais aussi un objet permettant de formuler certaines lois de réciprocité (en), et intéressant pour la théorie des corps de classes ; enfin, c'est un cas particulier de la notion de symbole sur un corps, qui est un concept important en K-théorie algébrique.Le symbole de Hilbert (a, b)2 de deux éléments non nuls a et b d'un corps K est 1 ou –1, suivant que l'équation ax2 + by2 = 1 admet ou non une solution (x, y) dans K. Une telle équation revient en fait à se demander si a est une norme dans l'extension a priori quadratique K(√b).Cette définition se généralise, pour un corps local K, en une fonction (–, –) de K* × K* dans le groupe des racines de l'unité de K. Avec ce point de vue, en considérant tous les symboles de Hilbert définis sur le corps des réels et les différents corps ℚp de nombres p-adiques, on parvient à une formulation de la loi de réciprocité quadratique, et plus généralement à la loi de réciprocité pour les puissances n-ièmes.Ce symbole a été introduit par Hilbert dans son Zahlbericht, à la différence près que sa définition concernait les corps globaux. Il a été généralisé aux corps locaux supérieurs (en).
  • In mathematics, the Hilbert symbol or norm-residue symbol is a function (–, –) from K× × K× to the group of nth roots of unity in a local field K such as the fields of reals or p-adic numbers . It is related to reciprocity laws, and can be defined in terms of the Artin symbol of local class field theory. The Hilbert symbol was introduced by David Hilbert (1897, sections 64, 131, 1998, English translation) in his Zahlbericht, with the slight difference that he defined it for elements of global fields rather than for the larger local fields.The Hilbert symbol has been generalized to higher local fields.
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  • Igor Chafarevitch
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  • Academic Press
  • Princeton University Press
  • Springer-Verlag
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  • Hilbert
  • Shafarevich
  • Fesenko
  • Vostokov
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  • I. B.
  • S. V.
  • I. R.
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  • Reciprocity Laws: From Euler to Eisenstein
  • Introduction to algebraic K-theory
  • Local fields and their extensions
  • Number theory
  • The theory of algebraic number fields
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  • PUP
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  • En mathématiques, le symbole de Hilbert est une application algébrique permettant de tester les solutions de certaines équations algébriques, particulièrement dans les corps de nombres p-adiques, mais aussi un objet permettant de formuler certaines lois de réciprocité (en), et intéressant pour la théorie des corps de classes ; enfin, c'est un cas particulier de la notion de symbole sur un corps, qui est un concept important en K-théorie algébrique.Le symbole de Hilbert (a, b)2 de deux éléments non nuls a et b d'un corps K est 1 ou –1, suivant que l'équation ax2 + by2 = 1 admet ou non une solution (x, y) dans K.
  • In mathematics, the Hilbert symbol or norm-residue symbol is a function (–, –) from K× × K× to the group of nth roots of unity in a local field K such as the fields of reals or p-adic numbers . It is related to reciprocity laws, and can be defined in terms of the Artin symbol of local class field theory.
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  • Symbole de Hilbert
  • Hilbert symbol
  • Hilbert-Symbol
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