En mathématiques, plus précisément en géométrie ou encore en géométrie euclidienne, un polytope régulier est une figure de géométrie présentant un grand nombre de symétries. En dimension deux, on trouve par exemple le triangle équilatéral, le carré, les pentagone et hexagone réguliers, etc. En dimension trois se rangent parmi les polytopes réguliers le cube, le dodécaèdre régulier (ci-contre), tous les solides platoniciens.

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  • En mathématiques, plus précisément en géométrie ou encore en géométrie euclidienne, un polytope régulier est une figure de géométrie présentant un grand nombre de symétries. En dimension deux, on trouve par exemple le triangle équilatéral, le carré, les pentagone et hexagone réguliers, etc. En dimension trois se rangent parmi les polytopes réguliers le cube, le dodécaèdre régulier (ci-contre), tous les solides platoniciens. On pourrait également citer des exemples pour des espaces de dimension plus élevée. Le cercle et la sphère, qui présentent un degré de symétrie très élevé, n'en sont pas pour autant considérées comme des polytopes, car ils n'ont pas de face plate.La très forte propriété de symétrie des polytopes réguliers leur confère une valeur esthétique qui fascine tant les mathématiciens que les non mathématiciens.Plusieurs des polytopes réguliers de dimension deux et trois se rencontrent dans la nature et sont connus depuis la Préhistoire. C'est aux mathématiciens grecs de l'Antiquité, notamment Euclide, qu'on en doit le plus ancien traitement mathématique connu. En effet, Euclide rédigea une somme sur les connaissances mathématiques de son temps, qu'il publia sous le titre des Éléments. Ce travail présente une construction d'une géométrie cohérente et d'une théorie des nombres, et se conclut par la description mathématique des cinq solides platoniciens.De nombreux siècles après Euclide, la définition des polytopes réguliers était demeurée inchangée.Pourtant, cette définition sera ensuite progressivement élargie, par à-coups, de façon à englober de plus en plus d'objets nouveaux. Au milieu du deuxième millénaire, les cinq solides platoniciens originaux furent rejoints par les polyèdres de Kepler-Poinsot. À la fin du XIXe siècle, les mathématiciens commencèrent à prendre en compte des polytopes réguliers en dimension quatre et plus, ainsi l'hypercube et le polytope à 24 cellules. Ces derniers ne sont pas faciles à visualiser, mais partagent avec leurs cousins de petite dimension les mêmes propriétés de symétrie. Plus durs à concevoir encore sont les polytopes réguliers abstraits (en), tels le polytope à 57 cellules (en) ou celui à 11 cellules (en) . Les mathématiciens qui s'intéressent à ces objets persistent cependant à y retrouver les mêmes qualités esthétiques.
  • In mathematics, a regular polytope is a polytope whose symmetry is transitive on its flags, thus giving it the highest degree of symmetry. All its elements or j-faces (for all 0 ≤ j ≤ n, where n is the dimension of the polytope) — cells, faces and so on — are also transitive on the symmetries of the polytope, and are regular polytopes of dimension ≤ n. Regular polytopes are the generalized analog in any number of dimensions of regular polygons (for example, the square or the regular pentagon) and regular polyhedra (for example, the cube). The strong symmetry of the regular polytopes gives them an aesthetic quality that interests both non-mathematicians and mathematicians.Classically, a regular polytope in n dimensions may be defined as having regular facets [(n − 1)-faces] and regular vertex figures. These two conditions are sufficient to ensure that all faces are alike and all vertices are alike. Note, however, that this definition does not work for abstract polytopes.A regular polytope can be represented by a Schläfli symbol of the form {a, b, c, ...., y, z}, with regular facets as {a, b, c, ..., y}, and regular vertex figures as {b, c, ..., y, z}.
  • En Matemáticas, un politopo regular es una figura geométrica con un alto grado de simetría.Ejemplo de politopos regulares en dos dimensiones son el cuadrado, el pentágono y el hexágono regular. En tres dimensiones incluyen los sólidos platónicos (poliedros regulares). Existen ejemplos también en dimensiones superiores. Los círculos y las esferas, aunque altamente simétricos, no son considerados politopos porque no tienen caras planas. La fuerte simetría de los politopos regulares les otorga una cualidad estética que interesa tanto a matemáticos como a legos.Muchos politopos regulares existen en la naturaleza y han sido conocidos desde la prehistoria. El más antiguo tratamiento matemático de ésos objetos viene de los antiguos matemáticos griegos tales como Euclides. Verdaderamente, Euclides escribió un estudio sistemático de las matemáticas, publicándolo con el nombre de Elementos de Euclides, en el cuál construyó una teoría lógica de la geometría y de la teoría de los números. Su trabajo concluyó con descripciones matemáticas de los cinco sólidos Platónicos.La definición de los politopos regulares permaneció estática por muchos siglos después de Euclides. La historia del estudio de los politopos regulares ha sido una donde la definición fue ampliada, permitiendo más y más diferentes objetos a ser considerados entre su conjunto. Los cinco sólidos Platónicos fueron unidos, hacia la mitad del segundo milenio, por los poliedros de Kepler-Poinsot. Al final del siglo XIX los matemáticos habían empezado a considerar politopos regulares en cuatro y más dimensiones, tal como el teseracto o hipercubo y el 24cell. El último es difícil de visualizar, pero aún retiene el placer estético simétrico de sus primos de menores dimensiones. Más difíciles aún de imaginar son los más modernos politopos regulares abstractos tal como el 57cell o el 11cell. Los matemáticos que estudian tales objetos insisten, sin embargo, que las cualidades estéticas de esos objetos permanecen.
  • Правильный n-мерный многогранник — многогранники n-мерного евклидова пространства, которые являются наиболее симметричными в некотором смысле.Правильные трёхмерные многогранники называются также платоновыми телами.
  • In geometria, un politopo di dimensione d si dice politopo regolare quando sono regolari (ordinari o stellati) tutti gli elementi che lo compongono, aventi dimensioni inferiori a d.
  • 正多胞体 (regular polytope) とは、正多角形、正多面体などを一般次元へ拡張した、対称性の高い多胞体である。ある正多胞体の各低次元の要素は合同であり、またそれ自体も正多胞体である。たとえば、ある正多面体の面は合同な正多角形である。ただし、デルタ多面体でわかるように、これは必要十分条件ではない。正多胞体の必要十分な定義はさまざまだが、よく使われるのは「ファセット(facet、n - 1 次元面)が合同であり、頂点形状が合同である」というものである。
  • 정폴리토프는 정다면체를 임의의 차원으로 확장한 것이다. 5차원 이상에서는 별 폴리토프나 다른 정폴리토프가 없고, 오직 심플렉스,하이퍼큐브,십자 폴리토프의 세가지 종류만 존재한다.
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  • En mathématiques, plus précisément en géométrie ou encore en géométrie euclidienne, un polytope régulier est une figure de géométrie présentant un grand nombre de symétries. En dimension deux, on trouve par exemple le triangle équilatéral, le carré, les pentagone et hexagone réguliers, etc. En dimension trois se rangent parmi les polytopes réguliers le cube, le dodécaèdre régulier (ci-contre), tous les solides platoniciens.
  • Правильный n-мерный многогранник — многогранники n-мерного евклидова пространства, которые являются наиболее симметричными в некотором смысле.Правильные трёхмерные многогранники называются также платоновыми телами.
  • In geometria, un politopo di dimensione d si dice politopo regolare quando sono regolari (ordinari o stellati) tutti gli elementi che lo compongono, aventi dimensioni inferiori a d.
  • 正多胞体 (regular polytope) とは、正多角形、正多面体などを一般次元へ拡張した、対称性の高い多胞体である。ある正多胞体の各低次元の要素は合同であり、またそれ自体も正多胞体である。たとえば、ある正多面体の面は合同な正多角形である。ただし、デルタ多面体でわかるように、これは必要十分条件ではない。正多胞体の必要十分な定義はさまざまだが、よく使われるのは「ファセット(facet、n - 1 次元面)が合同であり、頂点形状が合同である」というものである。
  • 정폴리토프는 정다면체를 임의의 차원으로 확장한 것이다. 5차원 이상에서는 별 폴리토프나 다른 정폴리토프가 없고, 오직 심플렉스,하이퍼큐브,십자 폴리토프의 세가지 종류만 존재한다.
  • En Matemáticas, un politopo regular es una figura geométrica con un alto grado de simetría.Ejemplo de politopos regulares en dos dimensiones son el cuadrado, el pentágono y el hexágono regular. En tres dimensiones incluyen los sólidos platónicos (poliedros regulares). Existen ejemplos también en dimensiones superiores. Los círculos y las esferas, aunque altamente simétricos, no son considerados politopos porque no tienen caras planas.
  • In mathematics, a regular polytope is a polytope whose symmetry is transitive on its flags, thus giving it the highest degree of symmetry. All its elements or j-faces (for all 0 ≤ j ≤ n, where n is the dimension of the polytope) — cells, faces and so on — are also transitive on the symmetries of the polytope, and are regular polytopes of dimension ≤ n.
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  • Polytope régulier
  • Politopo regolare
  • Politopo regular
  • Regelmatige polytoop
  • Regular polytope
  • Правильные многомерные многогранники
  • 正多胞体
  • 정폴리토프
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