En mathématiques, l'adjoint d'un opérateur a sur un espace préhilbertien est, quand il existe, un nouvel opérateur, noté a*. Un espace préhilbertien est un espace vectoriel sur le corps des nombres réels ou complexes, muni d'un produit scalaire.Si l'opérateur initial est continu et si l'espace vectoriel est complet, l'adjoint est toujours défini. Cette configuration se produit toujours en dimension finie.

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  • En mathématiques, l'adjoint d'un opérateur a sur un espace préhilbertien est, quand il existe, un nouvel opérateur, noté a*. Un espace préhilbertien est un espace vectoriel sur le corps des nombres réels ou complexes, muni d'un produit scalaire.Si l'opérateur initial est continu et si l'espace vectoriel est complet, l'adjoint est toujours défini. Cette configuration se produit toujours en dimension finie. L'application qui à un opérateur associe son adjoint est une isométrie semi-linéaire (en) et involutive.Certains opérateurs disposent d'une compatibilité vis-à-vis du produit scalaire. Tel est le cas si un opérateur commute avec son adjoint. Il est alors dit normal. Trois cas sont importants, celui d'un opérateur autoadjoint (adjoint de lui-même), antiautoadjoint (adjoint de son opposé) et unitaire (inverse de son adjoint). Sur un espace vectoriel réel, les termes utilisés sont respectivement : symétrique, antisymétrique et orthogonal.La notion d'adjoint d'un opérateur possède de nombreuses applications. En dimension finie et sur le corps des nombres complexes, la structure des endomorphismes normaux est simple, ils sont diagonalisables dans une base orthonormale. Le cas de la dimension infinie est plus complexe. Il est important en analyse fonctionnelle. Le cas autoadjoint est particulièrement étudié, il fournit le cadre le plus simple de la théorie spectrale. En théorie des opérateurs, une C*-algèbre est un espace de Banach muni d'une loi de composition interne analogue à la composition des opérateurs et d'une opération étoile ayant les mêmes propriétés que l'application qui, à un opérateur associe son adjoint.
  • In analisi funzionale l'aggiunto di un operatore, chiamato anche operatore hermitiano aggiunto o dagato, generalizza il trasposto coniugato di una matrice quadrata al caso infinito dimensionale e il concetto di complesso coniugato di un numero complesso.Ogni operatore lineare su uno spazio di Hilbert ha un corrispondente operatore aggiunto.Se A è un operatore, l'aggiunto di A e si scrive A* o A† (l'ultimo soprattutto nella notazione bra-ket).
  • In mathematics, specifically in functional analysis, each bounded linear operator on a Hilbert space has a corresponding adjoint operator. Adjoints of operators generalize conjugate transposes of square matrices to (possibly) infinite-dimensional situations. If one thinks of operators on a Hilbert space as "generalized complex numbers", then the adjoint of an operator plays the role of the complex conjugate of a complex number.The adjoint of an operator A is also sometimes called the Hermitian conjugate (after Charles Hermite) of A and is denoted by A* or A† (the latter especially when used in conjunction with the bra–ket notation).
  • De operatorentheorie, een tak van het wiskundige studiegebied der functionaalanalyse, associeert met iedere continue lineaire operator tussen twee topologische vectorruimten een toegevoegde operator, ook wel geadjungeerde operator genoemd.
  • Sdružený operátor nebo též adjungovaný operátor je významný pojem ve funkcionální analýze.
  • 数学の特に函数解析学において、ヒルベルト空間上の各有界線型作用素は、対応する随伴作用素(ずいはんさようそ、英: adjoint operator)を持つ。作用素の随伴は正方行列の随伴行列の概念の無限次元の場合をも許すような一般化である。ヒルベルト空間上の作用素を「一般化された複素数」と考えれば、作用素の随伴は複素数に対する複素共軛の役割を果たすものである。作用素 A の随伴は、シャルル・エルミートに因んでエルミート共軛 (Hermitian conjugate) とも呼ばれ、A∗ あるいは A† などで表される(後者は特にブラケット記法とともに用いられる)。
  • Em matemática, e, em especial, em análise funcional, um operador linear em um espaço de Hilbert pode possuir um operador adjunto. Essa relação é a generalização, para qualquer dimensão, do conceito da matriz transposta conjugada. Se pensarmos no espaço de Hilbert como uma "generalização dos números complexos", então o adjunto de um operador desempenha o papel do conjugado de um número complexo.O adjunto de um aperador A é, por vezes, chamado de conjugado Hermitiano de A (após Charles Hermite) e é denotado por A* ou A†, sendo a última notação especialmente utilizada em conjunto com a notação Bra-ket.
  • En matemàtiques, l'adjunt d'un operador, si existeix, és un nou operador definit en un espai vectorial sobre el cos dels nombres reals o dels complexos, dotat d'un producte escalar. Hom diu que un tal espai és prehilbertià.Si l'operador inicial és continu i si l'espai vectorial és complet, llavors l'adjunt sempre està definit. Aquestes condicions sempre es compleixen en dimensió finita. L'aplicació que assigna un operador al seu adjunt és semilineal, contínua i bijectiva. Addicionalment, és una isometria involutiva. L'espai dels operadors es descompon en dos subespais vectorials suplementaris i ortogonals. Són els espais propis de l'aplicació associats als valors propis 1 i -1.Alguns operadors disposen d'una compatibilitat amb el producte escalar. Aquest és el cas si un operador commuta amb el seu adjunt. Llavors hom diu que és un operador normal. Tres casos importants són els operadors autoadjunts (adjunts d'ells mateixos), els operadors antiautoadjunts (adjunts del seu oposat) i els operadors unitaris (inversos del seu adjunt). Sobre un espai vectorial real, els termes emprats són, respectivament: simètric, antisimètric i ortogonal.La noció d'operador adjunt té nombroses aplicacions. En dimensió finita i sobre el cos dels complexos, l'estructura dels endomorfismes normals és simple, ja que són diagonalitzables sobre una base ortonormal. El cas de dimensió infinita és més complex. Aquest concepte és important en anàlisi funcional. El cas autoadjunt és de particular importància, perquè proveeix del marc més senzill per la teoria espectral. En la teoria dels operadors, una C*-àlgebra és un espai de Banach dotat d'una llei de composició interna anàloga a la composició d'operadors, i d'una operació estrella que té les mateixes propietats que l'aplicació que assigna un operador al seu adjunt.
  • En matemáticas, para todo operador lineal sobre un espacio de Hilbert puede definirse su operador adjunto. Éste es una generalización del concepto de matriz adjunta al caso de espacios de dimensión infinita.
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  • :* Le noyau de a est égal à l'orthogonal de l'image de a* et le noyau de a* est égal à l'orthogonal de l'image de a : On remarque que, comme a est continue, le domaine de a* est le dual de F entier, donc : Ce qui démontre la première égalité. On remarque que, comme D est dense dans E, un vecteur du dual de E est nul si et seulement s'il est orthogonal à D, donc : Ce qui démontre la deuxième égalité. :* L'orthogonal du noyau de a contient l'adhérence de l'image de l'adjoint de a et l'orthogonal du noyau de l'adjoint de a est l'adhérence de l'image de a : L'étude des formes bilinéaires continues montre que l'orthogonal d'un d'orthogonal d'un espace vectoriel contient l'adhérence de l'espace initiale. L'orthogonal de l'orthogonal de l'image de d'adjoint de a contient donc l'adhérence de l'image de l'adjoint de a. La proposition précédente permet de conclure pour l'inclusion suivante :
  • :* Le spectre de l'opérateur a* est le conjugué de celui de a : Un opérateur est bijectif si et seulement si son adjoint l'est . En appliquant ceci à a – λId, le résultat s'en déduit. :* Si H est de dimension finie, le déterminant de a* est le conjugué de celui de a : L'article Déterminant (mathématiques) démontre qu'une matrice carrée possède le même déterminant que sa transposée. De plus, le déterminant d'une matrice conjuguée est le conjugué du déterminant. Le fait que le déterminant d'un endomorphisme soit égal à celui de sa matrice montre que le déterminant de l'adjoint de a est le conjugué de celui de a. Les mêmes propriétés appliquées à l'endomorphisme a – λId montrent l'égalité des polynômes caractéristiques. :* Si H est de dimension finie, le polynôme minimal de a* est le conjugué de celui de a : Soit P le polynôme minimal de a. L'endomorphisme P est nul et son conjugué l'est aussi, ce qui montre que le polynôme conjugué de P annule l'adjoint, son conjugué est donc un multiple du polynôme de a*. On montre de même que le polynôme conjugué du polynôme minimal de l'adjoint annule a. Les deux polynômes sont multiples l'un de l'autre, ils sont tous deux unitaires, ce qui permet de conclure à l'égalité.
  • *Adjoint d'une composée : *Semi-linéarité : *Involutivité :
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  • Haïm Brezis
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  • Démonstrations
  • Analyse fonctionnelle : théorie et applications
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  • En mathématiques, l'adjoint d'un opérateur a sur un espace préhilbertien est, quand il existe, un nouvel opérateur, noté a*. Un espace préhilbertien est un espace vectoriel sur le corps des nombres réels ou complexes, muni d'un produit scalaire.Si l'opérateur initial est continu et si l'espace vectoriel est complet, l'adjoint est toujours défini. Cette configuration se produit toujours en dimension finie.
  • In analisi funzionale l'aggiunto di un operatore, chiamato anche operatore hermitiano aggiunto o dagato, generalizza il trasposto coniugato di una matrice quadrata al caso infinito dimensionale e il concetto di complesso coniugato di un numero complesso.Ogni operatore lineare su uno spazio di Hilbert ha un corrispondente operatore aggiunto.Se A è un operatore, l'aggiunto di A e si scrive A* o A† (l'ultimo soprattutto nella notazione bra-ket).
  • De operatorentheorie, een tak van het wiskundige studiegebied der functionaalanalyse, associeert met iedere continue lineaire operator tussen twee topologische vectorruimten een toegevoegde operator, ook wel geadjungeerde operator genoemd.
  • Sdružený operátor nebo též adjungovaný operátor je významný pojem ve funkcionální analýze.
  • 数学の特に函数解析学において、ヒルベルト空間上の各有界線型作用素は、対応する随伴作用素(ずいはんさようそ、英: adjoint operator)を持つ。作用素の随伴は正方行列の随伴行列の概念の無限次元の場合をも許すような一般化である。ヒルベルト空間上の作用素を「一般化された複素数」と考えれば、作用素の随伴は複素数に対する複素共軛の役割を果たすものである。作用素 A の随伴は、シャルル・エルミートに因んでエルミート共軛 (Hermitian conjugate) とも呼ばれ、A∗ あるいは A† などで表される(後者は特にブラケット記法とともに用いられる)。
  • En matemáticas, para todo operador lineal sobre un espacio de Hilbert puede definirse su operador adjunto. Éste es una generalización del concepto de matriz adjunta al caso de espacios de dimensión infinita.
  • Em matemática, e, em especial, em análise funcional, um operador linear em um espaço de Hilbert pode possuir um operador adjunto. Essa relação é a generalização, para qualquer dimensão, do conceito da matriz transposta conjugada.
  • En matemàtiques, l'adjunt d'un operador, si existeix, és un nou operador definit en un espai vectorial sobre el cos dels nombres reals o dels complexos, dotat d'un producte escalar. Hom diu que un tal espai és prehilbertià.Si l'operador inicial és continu i si l'espai vectorial és complet, llavors l'adjunt sempre està definit. Aquestes condicions sempre es compleixen en dimensió finita. L'aplicació que assigna un operador al seu adjunt és semilineal, contínua i bijectiva.
  • In mathematics, specifically in functional analysis, each bounded linear operator on a Hilbert space has a corresponding adjoint operator. Adjoints of operators generalize conjugate transposes of square matrices to (possibly) infinite-dimensional situations.
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  • Opérateur adjoint
  • Adjungierter Operator
  • Hermitian adjoint
  • Operador adjunt
  • Operador adjunto
  • Operador adjunto
  • Operator sprzężony (przestrzenie Hilberta)
  • Operatore aggiunto
  • Sdružený operátor
  • Toegevoegde operator
  • 随伴作用素
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