En mathématiques, les nombres surréels sont les éléments d'une classe incluant celle des réels et celle des nombres ordinaux transfinis, et sur laquelle a été définie une structure de corps ; ceci signifie en particulier que l'on définit des inverses des nombres ordinaux transfinis ; les ordinaux et leurs inverses sont respectivement plus grands et plus petits que n'importe quel nombre réel positif.

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  • En mathématiques, les nombres surréels sont les éléments d'une classe incluant celle des réels et celle des nombres ordinaux transfinis, et sur laquelle a été définie une structure de corps ; ceci signifie en particulier que l'on définit des inverses des nombres ordinaux transfinis ; les ordinaux et leurs inverses sont respectivement plus grands et plus petits que n'importe quel nombre réel positif. Les surréels ne forment pas un ensemble au sens de la théorie usuelle.Les nombres surréels ont été introduits par John Conway et popularisés par Donald Knuth en 1974 dans son livre Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned on to Pure Mathematics and Found Total Happiness (Les nombres surréels : comment deux ex-étudiants se mirent aux mathématiques pures et trouvèrent le bonheur total).Les nombres pseudo-réels, également introduits par Knuth, sont une sur-classe des nombres surréels, construits avec des conditions plus faibles que ces derniers.
  • De surreële getallen vormen een uitbreiding van de reële getallen. De verzameling van surreële getallen wordt wel aangegeven met אo (alef-nul). Net als de reële getallen vormen de surreële getallen een totaal geordend veld (in België)/lichaam (in Nederland). In tegenstelling tot de reële getallen bevat אo ook infinitesimalen (dat wil zeggen oneindig kleine en oneindig grote elementen). In zekere zin vormen de surreële getallen de grootst mogelijke van al dergelijke uitbreidingen.De surreële getallen kunnen opgebouwd worden vanuit de lege verzameling, door toepassing van Dedekindsneden, een principe dat ook ten grondslag ligt aan de reële getallen. In een oneindige reeks tussenstappen worden voortdurend nieuwe getallen gedefinieerd in termen van eerder gedefinieerde.Surreële getallen werden ontwikkeld door de Engelse wiskundige John Horton Conway als een nevenresultaat van onderzoek naar de structuur van een bepaalde klasse van wiskundige spellen. De naam werd echter bedacht door Donald Knuth, maar werd later ook door Conway gebruikt.
  • A szürreális számok olyan számrendszert ill. lineáris kontinuumot alkotnak, ami tartalmazza a valós számokat, valamint végtelen és infinitezimális mennyiségeket is. A valós számokon szokásos alapműveletek és rendezés kiterjeszthető rájuk.A szürreális számokat John Horton Conway brit matematikus konstruálta meg, és Donald Knuth amerikai számítástudós tette közismertté Számok valóson innen és túl című könyvével; az elnevezés is Knuthtól származik.
  • In mathematics, the surreal number system is an arithmetic continuum containing the real numbers as well as infinite and infinitesimal numbers, respectively larger or smaller in absolute value than any positive real number. The surreals share many properties with the reals, including a total order ≤ and the usual arithmetic operations (addition, subtraction, multiplication, and division); as such, they form an ordered field. (Strictly speaking, the surreals are not a set, but a proper class.) If formulated in Von Neumann–Bernays–Gödel set theory, the surreal numbers are the largest possible ordered field; all other ordered fields, such as the rationals, the reals, the rational functions, the Levi-Civita field, the superreal numbers, and the hyperreal numbers, can be realized as subfields of the surreals. It has also been shown (in Von Neumann–Bernays–Gödel set theory) that the maximal class hyperreal field is isomorphic to the maximal class surreal field; in theories without the axiom of global choice, this need not be the case, and in such theories it is not necessarily true that the surreals are the largest ordered field. The surreals also contain all transfinite ordinal numbers; the arithmetic on them is given by the natural operations.The definition and construction of the surreals is due to John Horton Conway. They were introduced in Donald Knuth's 1974 book Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned on to Pure Mathematics and Found Total Happiness. This book is a mathematical novelette, and is notable as one of the rare cases where a new mathematical idea was first presented in a work of fiction. In his book, which takes the form of a dialogue, Knuth coined the term surreal numbers for what Conway had simply called numbers originally. Conway liked the new name, and later adopted it himself. Conway then described the surreal numbers and used them for analyzing games in his 1976 book On Numbers and Games.
  • En matemática, los números surreales son una clase de números que incluyen a todos los números reales, "infinitos" (mayores o menores que cualquier número real) e "infinitesimales", aquellos que están más próximos a cero que cualquier número real. Todos los números reales están rodeados de números surreales, que están más próximos de sí mismos que cualquier otro número real.Los números surreales tienen estructura de cuerpo ordenado, lo que significa que sobre ellos están definidas las cuatro operaciones aritméticas básicas (adición, substracción, multiplicación y división) y que estas se comportan según lo esperado. El inverso multiplicativo de un número infinito es un infinitesimal no nulo, y vice-versa.Fueron inicialmente propuestos por John H. Conway en 1970, y más tarde desarrollados por Donald Knuth en su libro de 1974 Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned on to Pure Mathematics and Found Total Happiness.
  • In matematica i numeri surreali costituiscono un campo che contiene i numeri reali e anche numeri infiniti e infinitesimi, rispettivamente maggiori o minori in valore assoluto di qualunque numero reale positivo. Per questo motivo i numeri surreali sono algebricamente simili ai numeri superreali e iperreali.La definizione e la costruzione dei surreali sono dovute a John Horton Conway, ed esemplificano la sua originalità e la sua inventiva. Furono introdotti da Donald Knuth in un libro del 1974 dal titolo Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned on to Pure Mathematics and Found Total Happiness (non esiste una traduzione italiana del testo, il cui titolo significa Numeri surreali: come due ex-studenti scoprirono la matematica pura e raggiunsero la piena felicità). Questo libro è un breve racconto matematico, e va notato che è uno dei rari casi in cui una nuova idea matematica viene prima presentata in un lavoro di fantasia. Nel suo libro, che ha la forma di dialogo, Knuth ha coniato il termine numero surreale per quegli oggetti che Conway, in origine, aveva semplicemente chiamato numeri. A Conway piacque il nuovo nome tanto che, in seguito, lo adottò. Conway ha descritto i numeri surreali e li ha usati per analizzare i giochi nel suo libro del 1976 dal titolo On Numbers and Games.
  • Die surrealen Zahlen bilden eine Klasse von Zahlen, die alle reellen Zahlen umfasst, sowie „unendlich große“ Zahlen, die größer sind als jede reelle Zahl. Dabei ist jede reelle Zahl von surrealen Zahlen umgeben, die ihr näher sind als jede andere reelle Zahl, insbesondere gibt es „infinitesimale“ Zahlen, die näher bei Null liegen als jede positive reelle Zahl. Darin stimmen sie mit den hyperreellen Zahlen überein, aber sie werden auf eine völlig andere Weise konstruiert und enthalten die hyperreellen Zahlen als Teilmenge.Das Wort „surreal“ entstammt dem französischen und bedeutet „über der Wirklichkeit“. Es wird auch für die Stilrichtung des Surrealismus verwendet.Surreale Zahlen wurden zuerst von John Conway vorgestellt und 1974 im Detail beschrieben in Donald E. Knuths Buch Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned on to Pure Mathematics and Found Total Happiness. Dieses Buch ist eigentlich kein Fachbuch, sondern eine Novelle, und es ist einer der wenigen Fälle, in denen eine neue mathematische Idee zuerst in einem literarischen Werk präsentiert wurde. In seinem Buch, das in Dialogform gehalten ist, prägte Knuth den Begriff surreale Zahlen für das, was Conway ursprünglich nur Zahlen nannte. Conway gefiel der neue Name, sodass er ihn später übernahm. Er beschrieb die surrealen Zahlen und nutzte sie zur Analyse von Spielen (unter anderem Go) in seinem Buch On Numbers and Games (1976).
  • Nadreálné číslo je společným zúplněním pojmu reálného, ordinálního a hyperreálného čísla. Z čistě matematického hlediska je každé nadreálné číslo uspořádaná dvojice množin nadreálných čísel, která nadto splňuje jisté podmínky.
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  • En mathématiques, les nombres surréels sont les éléments d'une classe incluant celle des réels et celle des nombres ordinaux transfinis, et sur laquelle a été définie une structure de corps ; ceci signifie en particulier que l'on définit des inverses des nombres ordinaux transfinis ; les ordinaux et leurs inverses sont respectivement plus grands et plus petits que n'importe quel nombre réel positif.
  • A szürreális számok olyan számrendszert ill. lineáris kontinuumot alkotnak, ami tartalmazza a valós számokat, valamint végtelen és infinitezimális mennyiségeket is. A valós számokon szokásos alapműveletek és rendezés kiterjeszthető rájuk.A szürreális számokat John Horton Conway brit matematikus konstruálta meg, és Donald Knuth amerikai számítástudós tette közismertté Számok valóson innen és túl című könyvével; az elnevezés is Knuthtól származik.
  • Nadreálné číslo je společným zúplněním pojmu reálného, ordinálního a hyperreálného čísla. Z čistě matematického hlediska je každé nadreálné číslo uspořádaná dvojice množin nadreálných čísel, která nadto splňuje jisté podmínky.
  • In mathematics, the surreal number system is an arithmetic continuum containing the real numbers as well as infinite and infinitesimal numbers, respectively larger or smaller in absolute value than any positive real number. The surreals share many properties with the reals, including a total order ≤ and the usual arithmetic operations (addition, subtraction, multiplication, and division); as such, they form an ordered field.
  • In matematica i numeri surreali costituiscono un campo che contiene i numeri reali e anche numeri infiniti e infinitesimi, rispettivamente maggiori o minori in valore assoluto di qualunque numero reale positivo. Per questo motivo i numeri surreali sono algebricamente simili ai numeri superreali e iperreali.La definizione e la costruzione dei surreali sono dovute a John Horton Conway, ed esemplificano la sua originalità e la sua inventiva.
  • Die surrealen Zahlen bilden eine Klasse von Zahlen, die alle reellen Zahlen umfasst, sowie „unendlich große“ Zahlen, die größer sind als jede reelle Zahl. Dabei ist jede reelle Zahl von surrealen Zahlen umgeben, die ihr näher sind als jede andere reelle Zahl, insbesondere gibt es „infinitesimale“ Zahlen, die näher bei Null liegen als jede positive reelle Zahl.
  • En matemática, los números surreales son una clase de números que incluyen a todos los números reales, "infinitos" (mayores o menores que cualquier número real) e "infinitesimales", aquellos que están más próximos a cero que cualquier número real.
  • De surreële getallen vormen een uitbreiding van de reële getallen. De verzameling van surreële getallen wordt wel aangegeven met אo (alef-nul). Net als de reële getallen vormen de surreële getallen een totaal geordend veld (in België)/lichaam (in Nederland). In tegenstelling tot de reële getallen bevat אo ook infinitesimalen (dat wil zeggen oneindig kleine en oneindig grote elementen).
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  • Nombre surréel
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  • Nadreálné číslo
  • Numero surreale
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  • Número surreal
  • Surreal number
  • Surreale Zahl
  • Surreëel getal
  • Szürreális számok
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