En mathématiques, un nombre réel est un nombre qui peut être représenté par une partie entière et une liste finie ou infinie de décimales.

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  • En mathématiques, un nombre réel est un nombre qui peut être représenté par une partie entière et une liste finie ou infinie de décimales. Cette définition s'applique donc aux nombres rationnels, dont les décimales se répètent de façon périodique à partir d'un certain rang, mais aussi à d'autres nombres dits irrationnels, tels la racine carrée de 2, π et e.La notion de nombre réel émerge progressivement de la manipulation des rapports de grandeurs géométriques autres que les rapports d'entiers depuis leur prise en compte par Eudoxe de Cnide au IVe siècle av. J.-C. Elle s'insère aussi dans l'approximation des solutions de problèmes algébriques et donne même lieu, au milieu du XIXe siècle, à la mise en évidence de nombres transcendants. Mais la définition des nombres réels n'est formalisée que quelques décennies plus tard avec les constructions de Dedekind d'une part et de Cantor et Méray d'autre part.L'ensemble des nombres réels, noté ℝ, est alors un corps totalement ordonné, c'est-à-dire qu'il est muni des quatre opérations arithmétiques satisfaisant les mêmes règles que celles sur les fractions et ces opérations sont compatibles avec la relation d'ordre. Mais il satisfait en plus la propriété de la borne supérieure qui fonde l'analyse réelle.Enfin, cet ensemble est caractérisé par Hilbert comme dernier corps archimédien. Dans la droite réelle achevée les valeurs infinies ne satisfont plus les règles opératoires de corps, l'extension au corps des nombres complexes rend impossible la relation d'ordre total compatible, tandis que l'analyse non standard adjoint des nombres infiniment petits qui invalident le caractère archimédien.L'adjectif « réel » est utilisé pour qualifier des nombres dès le XVIIe siècle, mais il n'est explicitement défini par opposition aux nombres imaginaires qu'à la fin du XIXe siècle Il a aussi été opposé à « nombre formel » dans certaines traités de théologie ou de philosophie de la même époque.
  • 数学における実数(じっすう、 英: real number)は、様々な量の連続的な変化を表す数の体系である。実数全体の空間は、途切れのなさにあたる完備性とよばれる位相的性質を持ち、代数的には加減乗除ができるという体の構造を持っている。幾何学や解析学ではこれらのよい性質を利用して様々な対象が定義され、研究されている。一方でその構成方法に自明でない手続きが含まれるため、実数の空間は数学基礎論の観点からも興味深い性質を持っている。また、自然科学における連続的なものの計測値を表すのに十分な数の体系だとも考えられている。実数の概念は、その形式的な定義が19世紀に達成される前から数の体系として使われていた。「実数」という名前は複素数の概念が導入された後に「普通の数」を表す言葉として導入されたものである。
  • Die reellen Zahlen bilden einen in der Mathematik bedeutenden Zahlenbereich. Sie bilden eine Erweiterung des Bereichs der rationalen Zahlen, der Brüche, womit Messwerte für übliche physikalischen Größen wie zum Beispiel Länge, Temperatur und Masse als reelle Zahlen aufgefasst werden können. Die reellen Zahlen haben gegenüber den rationalen Zahlen besondere topologische Eigenschaften. Diese bestehen unter anderem darin, dass für jedes Problem, für das in einem gewissen Sinne beliebig gute näherungsweise Lösungen in Form von reellen Zahlen existieren, auch eine reelle Zahl als exakte Lösung existiert. Daher können sie in der Analysis, der Topologie und der Geometrie vielseitig eingesetzt werden. Beispielsweise können Längen und Flächeninhalte sehr vielfältiger geometrischer Objekte sinnvoll als reelle Zahlen, nicht aber etwa als rationale Zahlen definiert werden. Wenn in empirischen Wissenschaften mathematische Konzepte – wie zum Beispiel Längen – zur Beschreibung eingesetzt werden, spielt daher auch dort die Theorie der reellen Zahlen oft eine wichtige Rolle.
  • Zbiór liczb rzeczywistych – uzupełnienie zbioru liczb wymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych zawiera m.in. liczby naturalne, ujemne, całkowite, pierwiastki liczb dodatnich, wymierne, niewymierne, przestępne, itd. Z drugiej strony na liczby rzeczywiste można też patrzeć jak na szczególne przypadki liczb zespolonych.Pitagorejczycy zauważyli, że długość przekątnej kwadratu o boku długości 1 nie daje się wyrazić przy pomocy ilorazu dwóch liczb całkowitych (zob. dowód niewymierności pierwiastka z 2). Podobnie liczba pi, którą można definiować jako stosunek długości dowolnego okręgu do jego średnicy nie jest liczbą wymierną. Zbiór liczb rzeczywistych jest więc uzupełnieniem zbioru liczb wymiernych o tego rodzaju luki. Klasycznym jego modelem jest tzw. prosta rzeczywista, czy inaczej oś liczbowa. Liczby rzeczywiste tworzą ciało i z punktu widzenia algebry są one rozszerzeniem ciała liczb wymiernych.
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  • * Soit un nombre réel. Un voisinage de est un ensemble contenant un intervalle ouvert contenant . Démonstration dans l'article Voisinage. * ℝ est un espace séparé. * ℚ est dense dans ℝ. Démonstration dans l'article Ordre dense. * Les ouverts de ℝ sont les réunions quelconques d'intervalles ouverts. Démonstration dans l'article Voisinage. * Les compacts de ℝ sont les fermés bornés. Cette propriété permet une démonstration simple et rapide du théorème des bornes. En particulier les segments sont compacts. Démonstration dans l'article Théorème de Borel-Lebesgue et variante dans l'article Compacité séquentielle. * Toute suite bornée de ℝ admet une sous-suite convergente. Démonstration dans l'article Théorème de Bolzano-Weierstrass * ℝ est connexe et simplement connexe. Démonstration dans les articles Connexité et Connexité simple. * Les connexes de ℝ sont les intervalles. Cette propriété permet une démonstration simple et rapide du théorème des valeurs intermédiaires. Démonstration dans l'article Connexité. * Théorème des compacts emboités. L'intersection de toute suite décroissante de compacts non vides est non vide. Démonstration dans l'article Compacité (mathématiques) et variante dans l'article Compacité séquentielle.
  • Montrons que l'intervalle [0, 1] n'est pas dénombrable, en montrant qu'une suite dans [0, 1] n'est jamais surjective. Il suffit de trouver un point dans [0, 1] qui n'est pas dans l'ensemble image de la suite. Pour cela, définissons par récurrence deux suites , telles que : :: Initialisons nos deux suites en posant : :: Il est évident que la propriété est vraie si n est égal à 0. Définissons alors nos suites pour le rang n + 1. :: :: L'intervalle étant inclus dans l'intervalle , il ne peut contenir d'élément de la suite d'ordre strictement inférieur à n, par hypothèse de récurrence. Par construction, il ne peut pas non plus contenir et la propriété est vérifiée. Les deux suites étant adjacentes , leur limite commune appartient, pour tout n, à l'intervalle , donc est différente des n premières valeurs de la suite . Comme n est quelconque, la proposition est démontrée.
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  • Pourquoi R est indispensable pour l'analyse
  • Propriétés
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  • Ensemble des nombres réels et sous-ensembles
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  • Ensemble des nombres réels et sous-ensembles
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  • nombre réel
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  • En mathématiques, un nombre réel est un nombre qui peut être représenté par une partie entière et une liste finie ou infinie de décimales.
  • 数学における実数(じっすう、 英: real number)は、様々な量の連続的な変化を表す数の体系である。実数全体の空間は、途切れのなさにあたる完備性とよばれる位相的性質を持ち、代数的には加減乗除ができるという体の構造を持っている。幾何学や解析学ではこれらのよい性質を利用して様々な対象が定義され、研究されている。一方でその構成方法に自明でない手続きが含まれるため、実数の空間は数学基礎論の観点からも興味深い性質を持っている。また、自然科学における連続的なものの計測値を表すのに十分な数の体系だとも考えられている。実数の概念は、その形式的な定義が19世紀に達成される前から数の体系として使われていた。「実数」という名前は複素数の概念が導入された後に「普通の数」を表す言葉として導入されたものである。
  • In mathematics, a real number is a value that represents a quantity along a continuous line. The real numbers include all the rational numbers, such as the integer −5 and the fraction 4/3, and all the irrational numbers such as √2 (1.41421356… the square root of two, an irrational algebraic number) and π (3.14159265…, a transcendental number).
  • Die reellen Zahlen bilden einen in der Mathematik bedeutenden Zahlenbereich. Sie bilden eine Erweiterung des Bereichs der rationalen Zahlen, der Brüche, womit Messwerte für übliche physikalischen Größen wie zum Beispiel Länge, Temperatur und Masse als reelle Zahlen aufgefasst werden können. Die reellen Zahlen haben gegenüber den rationalen Zahlen besondere topologische Eigenschaften.
  • Zbiór liczb rzeczywistych – uzupełnienie zbioru liczb wymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych zawiera m.in. liczby naturalne, ujemne, całkowite, pierwiastki liczb dodatnich, wymierne, niewymierne, przestępne, itd. Z drugiej strony na liczby rzeczywiste można też patrzeć jak na szczególne przypadki liczb zespolonych.Pitagorejczycy zauważyli, że długość przekątnej kwadratu o boku długości 1 nie daje się wyrazić przy pomocy ilorazu dwóch liczb całkowitych (zob. dowód niewymierności pierwiastka z 2).
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  • Nombre réel
  • Bilangan riil
  • Liczby rzeczywiste
  • Nombre real
  • Numero reale
  • Número real
  • Número real
  • Real number
  • Reel sayılar
  • Reelle Zahl
  • Reálné číslo
  • Reëel getal
  • Valós számok
  • Zenbaki erreal
  • Вещественное число
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  • 実数
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