En arithmétique, un entier strictement positif n est dit pratique ou panarithmique si tout entier compris entre 1 et n est somme de certains diviseurs (distincts) de n.Par exemple, 8 est pratique.

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  • En arithmétique, un entier strictement positif n est dit pratique ou panarithmique si tout entier compris entre 1 et n est somme de certains diviseurs (distincts) de n.Par exemple, 8 est pratique. En effet, il a pour diviseurs 1, 2, 4 et 8, or 3 = 2 + 1, 5 = 4 + 1, 6 = 4 + 2 et 7 = 4 + 2 + 1.Les douze premiers nombres pratiques sont 1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 28 et 30 (suite A005153 de l'OEIS).Les nombres pratiques ont été utilisés par Fibonacci pour représenter des nombres rationnels par des fractions égyptiennes. Fibonacci ne définit pas formellement les nombres pratiques mais donne une table de développements en fractions égyptiennes pour des fractions dont le dénominateur est pratique.Les nombres pratiques ont été baptisés ainsi en 1948 par Srinivasan ; il commença à les classifier, ce qui fut achevé par Stewart (en) et Sierpiński. Cette caractérisation permet de déterminer si un nombre est pratique à partir de sa décomposition en facteurs premiers et de montrer que d'autres ensembles remarquables d'entiers ne contiennent que des nombres pratiques.Les nombres pratiques sont analogues aux nombres premiers par beaucoup de leurs propriétés.
  • In number theory, a practical number or panarithmic number is a positive integer n such that all smaller positive integers can be represented as sums of distinct divisors of n. For example, 12 is a practical number because all the numbers from 1 to 11 can be expressed as sums of its divisors 1, 2, 3, 4, and 6: as well as these divisors themselves, we have 5 = 3 + 2, 7 = 6 + 1, 8 = 6 + 2, 9 = 6 + 3, 10 = 6 + 3 + 1, and 11 = 6 + 3 + 2.The sequence of practical numbers (sequence A005153 in OEIS) begins1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 48, 54, ....Practical numbers were used by Fibonacci in his Liber Abaci (1202) in connection with the problem of representing rational numbers as Egyptian fractions. Fibonacci does not formally define practical numbers, but he gives a table of Egyptian fraction expansions for fractions with practical denominators.The name "practical number" is due to Srinivasan (1948), who first attempted a classification of these numbers that was completed by Stewart (1954) and Sierpiński (1955). This characterization makes it possible to determine whether a number is practical by examining its prime factorization. Every even perfect number and every power of two is also a practical number.Practical numbers have also been shown to be analogous with prime numbers in many of their properties.
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