p進数(Pしんすう、p-adic number)とは、1897年にクルト・ヘンゼルによって導入された、数の体系の一つである。文脈によっては、その体系の個々の数を指して p-進数と呼ぶこともある。有理数の体系を実数や複素数の体系に拡張するのとは別の方向で、各素数 p に対して p-進数の体系が構成される。それらは有理数のつくる空間の局所的な姿を記述していると考えられ、数学の中でも特に数論において重要な役割を果たす。数学のみならず、素粒子物理学の理論などで使われることもある。「p-進数」とは「2-進数」や「3-進数」の総称に過ぎないので、文字 p がすでに他の場所で用いられている場合、q-進数や l-進数などと表現されることもある。なお普及した誤用として、自然数や実数を0と1で表現する方法、そしてその結果得られる記号列を「2進数」と呼ぶ場合があるが、これらは正しくは「2進法」と「2進列」であり、「2-進数」とはそもそも指している対象が異なる。

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  • In de getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, werden de p-adische getalsystemen in 1897 voor het eerst beschreven door Kurt Hensel. Voor elk priemgetal p, breidt het p-adische getallensysteem het gewone rekenen met rationale getallen op een andere manier uit dan de meer bekende uitbreiding van het rationale getallensysteem naar de reële- en complexe getallensystemen. Het p-adische getalsysteem vormt dus een alternatief getallensysteem. In de getaltheorie spelen p-adische getallensystemen een fundamentele rol. Deze uitbreiding bestaat uit een alternatieve interpretatie van het begrip van absolute waarde. De introductie van p-adische getallen werd vooral ingegeven door een poging om de ideeën en technieken van machtreeksen ook in de getaltheorie in te voeren. De invloed van p-adische getallen strekt zich nu echter veel verder uit. Het onderzoeksgebied van p-adische analyse biedt voor p-adische getallensystemen bijvoorbeeld een alternatieve vorm van wiskundige analyse. Meer formeel uitgedrukt voor een gegeven priemgetal p is het veld Qp van p-adische getallen een vervollediging van de rationale getallen. Aan het veld Qp wordt een speciale topologie, de zogenaamde p-adische norm, toegekend, die is afgeleid van een metrische ruimte, die zelf weer is afgeleid van een alternatieve valuatie van de rationale getallen. Deze metrische ruimte is volledig in die zin dat iedere Cauchyrij naar een punt in Qp convergeert. Deze eigenschap staat de ontwikkeling van een wiskundige analyse op Qp toe. Het is de interactie van deze analytische en algebraïsche structuren, die de p-adische getallensystemen in de praktijk hun kracht en nut geven. Het p-adische getalsysteem zorgt voor een nieuw en dieper inzicht in de grondbeginselen van de analyse, op een vergelijkbare manier als de ontdekking van de niet-Euclidische meetkunde dat deed voor de meetkunde.
  • P-adická čísla (značená Qp) jsou číselná struktura používaná v matematice, zejména v teorie čísel. Jsou definována pro libovolné prvočíslo p. přičemž pro různá p se jedná o různé struktury, které rozšířují racionální čísla jiným způsobem než klasická čísla reálná a komplexní. Písmeno p v názvu je tedy proměnná, do které můžeme dosazovat různé konstanty a tak získáme 2-adická čísla, 3-adická čísla, 5-adická čísla atp. Základem formálního zavedení p-adických čísel je alternativní pohled na funkci absolutní hodnoty. Ta je obvyklou metrikou, chceme-li uvažovat těleso racionálních čísel jako metrický prostor. Zavedení jiné metriky nám dává možnost zkonstruovat jiné zúplnění prostoru racionálních čísel. Vznikne nám tak alternativní topologický prostor k reálným číslům, v kterém je pro každou Cauchyovskou posloupnost obsažena i její limita. Tím je dána i možnost vybudovat alternativní kalkulus, totiž p-adickou analýzu.Poprvé p-adická čísla popsal Kurt Hensel v roce 1897, přičemž motivací jejich zavedení byla snaha přenést do teorie čísel metody a myšlenky známé z práce s mocninnými řadami. Vliv p-adických čísel od té doby zasáhl mnohé oblasti matematiky, přičemž stále platí, že jejich hlavní význam tkví v propojování algebry s analýzou.
  • Para cada número primo p, los números p-ádicos forman una extensión de cuerpos de los números racionales descritos por primera vez por Kurt Hensel en 1897. Fueron usados en la resolución de varios problemas en Teoría de números, a menudo con el principio local-global de Helmut Hasse , que dice, más o menos, que una ecuación puede resolverse en los números racionales si y sólo si se puede resolver en los números reales y en los números p-ádicos para todo primo p. El espacio Qp de todos los números p-ádicos tiene lapropiedad topológica, deseable, de completitud, que nos permite el desarrollo del Análisis p-ádico, similar al Análisis real.
  • p進数(Pしんすう、p-adic number)とは、1897年にクルト・ヘンゼルによって導入された、数の体系の一つである。文脈によっては、その体系の個々の数を指して p-進数と呼ぶこともある。有理数の体系を実数や複素数の体系に拡張するのとは別の方向で、各素数 p に対して p-進数の体系が構成される。それらは有理数のつくる空間の局所的な姿を記述していると考えられ、数学の中でも特に数論において重要な役割を果たす。数学のみならず、素粒子物理学の理論などで使われることもある。「p-進数」とは「2-進数」や「3-進数」の総称に過ぎないので、文字 p がすでに他の場所で用いられている場合、q-進数や l-進数などと表現されることもある。なお普及した誤用として、自然数や実数を0と1で表現する方法、そしてその結果得られる記号列を「2進数」と呼ぶ場合があるが、これらは正しくは「2進法」と「2進列」であり、「2-進数」とはそもそも指している対象が異なる。
  • In mathematics the p-adic number system for any prime number p extends the ordinary arithmetic of the rational numbers in a way different from the extension of the rational number system to the real and complex number systems. The extension is achieved by an alternative interpretation of the concept of "closeness" or absolute value. In particular, p-adic numbers have the interesting property that they are said to be close when their difference is divisible by a high power of p – the higher the power the closer they are. This property enables p-adic numbers to encode congruence information in a way that turns out to have powerful applications in number theory including, for example, in the famous proof of Fermat's Last Theorem by Andrew Wiles.p-adic numbers were first described by Kurt Hensel in 1897, though with hindsight some of Kummer's earlier work can be interpreted as implicitly using p-adic numbers. The p-adic numbers were motivated primarily by an attempt to bring the ideas and techniques of power series methods into number theory. Their influence now extends far beyond this. For example, the field of p-adic analysis essentially provides an alternative form of calculus.More formally, for a given prime p, the field Qp of p-adic numbers is a completion of the rational numbers. The field Qp is also given a topology derived from a metric, which is itself derived from the p-adic order, an alternative valuation on the rational numbers. This metric space is complete in the sense that every Cauchy sequence converges to a point in Qp. This is what allows the development of calculus on Qp, and it is the interaction of this analytic and algebraic structure which gives the p-adic number systems their power and utility.The p in p-adic is a variable and may be replaced with a constant (yielding, for instance, "the 2-adic numbers") or another placeholder variable (for expressions such as "the ℓ-adic numbers").
  • A p-adikus számok, melyeket elsőként Kurt Hensel írt le 1897-ben, a racionális számok kiterjesztése, a valós számok és a komplex számok felé való kiterjesztéstől eltérő módon. A számelméletben használják fel elsősorban.
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  • p進数(Pしんすう、p-adic number)とは、1897年にクルト・ヘンゼルによって導入された、数の体系の一つである。文脈によっては、その体系の個々の数を指して p-進数と呼ぶこともある。有理数の体系を実数や複素数の体系に拡張するのとは別の方向で、各素数 p に対して p-進数の体系が構成される。それらは有理数のつくる空間の局所的な姿を記述していると考えられ、数学の中でも特に数論において重要な役割を果たす。数学のみならず、素粒子物理学の理論などで使われることもある。「p-進数」とは「2-進数」や「3-進数」の総称に過ぎないので、文字 p がすでに他の場所で用いられている場合、q-進数や l-進数などと表現されることもある。なお普及した誤用として、自然数や実数を0と1で表現する方法、そしてその結果得られる記号列を「2進数」と呼ぶ場合があるが、これらは正しくは「2進法」と「2進列」であり、「2-進数」とはそもそも指している対象が異なる。
  • A p-adikus számok, melyeket elsőként Kurt Hensel írt le 1897-ben, a racionális számok kiterjesztése, a valós számok és a komplex számok felé való kiterjesztéstől eltérő módon. A számelméletben használják fel elsősorban.
  • Para cada número primo p, los números p-ádicos forman una extensión de cuerpos de los números racionales descritos por primera vez por Kurt Hensel en 1897. Fueron usados en la resolución de varios problemas en Teoría de números, a menudo con el principio local-global de Helmut Hasse , que dice, más o menos, que una ecuación puede resolverse en los números racionales si y sólo si se puede resolver en los números reales y en los números p-ádicos para todo primo p.
  • In mathematics the p-adic number system for any prime number p extends the ordinary arithmetic of the rational numbers in a way different from the extension of the rational number system to the real and complex number systems. The extension is achieved by an alternative interpretation of the concept of "closeness" or absolute value.
  • P-adická čísla (značená Qp) jsou číselná struktura používaná v matematice, zejména v teorie čísel. Jsou definována pro libovolné prvočíslo p. přičemž pro různá p se jedná o různé struktury, které rozšířují racionální čísla jiným způsobem než klasická čísla reálná a komplexní. Písmeno p v názvu je tedy proměnná, do které můžeme dosazovat různé konstanty a tak získáme 2-adická čísla, 3-adická čísla, 5-adická čísla atp.
  • In de getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, werden de p-adische getalsystemen in 1897 voor het eerst beschreven door Kurt Hensel. Voor elk priemgetal p, breidt het p-adische getallensysteem het gewone rekenen met rationale getallen op een andere manier uit dan de meer bekende uitbreiding van het rationale getallensysteem naar de reële- en complexe getallensystemen. Het p-adische getalsysteem vormt dus een alternatief getallensysteem.
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  • Nombre p-adique
  • Liczby p-adyczne
  • Nombre p-àdic
  • Numero p-adico
  • Número p-ádico
  • Número p-ádico
  • P-adic number
  • P-adické číslo
  • P-adikus számok
  • P-adisch getal
  • P-adische Zahl
  • P-sel sayılar
  • P-адическое число
  • P進数
  • P진수
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