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  • In number theory, Euclid's lemma (also called Euclid's first theorem) is a lemma that captures a fundamental property of prime numbers, namely: If a prime divides the product of two numbers, it must divide at least one of those numbers. For example since 133 × 143 = 19019 is divisible by 19, one or both of 133 or 143 must be as well. In fact, 19 × 7 = 133.This property is the key in the proof of the fundamental theorem of arithmetic. It is used to define prime elements, a generalization of prime numbers to arbitrary commutative rings.The lemma is not true for composite numbers. For example, 4 does not divide 6 and 4 does not divide 10, yet 4 does divide their product, 60.
  • Il lemma di Euclide è una generalizzazione della Proposizione 30 del Libro VII degli Elementi di Euclide. Il lemma afferma cheSe un numero n, intero positivo, divide il prodotto di due numeri a e b, interi positivi, ed è coprimo con uno dei due (es. a), allora è divisore dell'altro (es. b).Utilizzando le usuali notazioni matematiche, ciò si può scrivere come segue:Se n|ab e MCD(n, a) = 1 allora n|b.La Proposizione 30, nota anche come primo teorema di Euclide, afferma:Se un numero primo divide il prodotto di due interi positivi, allora il numero primo divide almeno uno dei due interi positivi.Ciò si può scrivere come:Se p|ab allora p|a oppure p|b.Naturalmente, questo risultato si può dedurre immediatamente dal lemma di Euclide, in quanto un numero primo è coprimo con un numero intero se e solo se non lo divide.Spesso la Proposizione 30 viene chiamata lemma di Euclide in luogo della generalizzazione sopra citata. Un'applicazione molto comune del lemma di Euclide nei libri di testo di matematica è la dimostrazione del teorema fondamentale dell'aritmetica che, peraltro, può essere dimostrato senza farne uso.
  • Eukleidovo lemma je lemma v aritmetice a v teorii čísel, které říká, že pokud je nějaké prvočíslo dělitelem součinu celých čísel, pak dělí i nějaký z činitelů. Toto tvrzení se poprvé objevuje již v Eukleidových Základech (kniha VII, 30. postulát) a používá se například v důkaze Základní věty aritmetiky.
  • Лемма Евклида — классический результат элементарной теории чисел. Она сформулирована как предложение 30 в книге VII «Начал» Евклида.
  • Das Lemma von Euklid ist ein grundlegendes Lemma in der klassischen Arithmetik bzw der elementaren Zahlentheorie. Seine Aussage wird gewöhnlich zum Beweis des Fundamentalsatz der Arithmetik benutzt, genauer zur Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung. Es taucht schon in Euklids Elementen auf (Buch VII, Postulat 30).
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  • Eukleidovo lemma je lemma v aritmetice a v teorii čísel, které říká, že pokud je nějaké prvočíslo dělitelem součinu celých čísel, pak dělí i nějaký z činitelů. Toto tvrzení se poprvé objevuje již v Eukleidových Základech (kniha VII, 30. postulát) a používá se například v důkaze Základní věty aritmetiky.
  • Лемма Евклида — классический результат элементарной теории чисел. Она сформулирована как предложение 30 в книге VII «Начал» Евклида.
  • Das Lemma von Euklid ist ein grundlegendes Lemma in der klassischen Arithmetik bzw der elementaren Zahlentheorie. Seine Aussage wird gewöhnlich zum Beweis des Fundamentalsatz der Arithmetik benutzt, genauer zur Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung. Es taucht schon in Euklids Elementen auf (Buch VII, Postulat 30).
  • Il lemma di Euclide è una generalizzazione della Proposizione 30 del Libro VII degli Elementi di Euclide. Il lemma afferma cheSe un numero n, intero positivo, divide il prodotto di due numeri a e b, interi positivi, ed è coprimo con uno dei due (es. a), allora è divisore dell'altro (es.
  • In number theory, Euclid's lemma (also called Euclid's first theorem) is a lemma that captures a fundamental property of prime numbers, namely: If a prime divides the product of two numbers, it must divide at least one of those numbers. For example since 133 × 143 = 19019 is divisible by 19, one or both of 133 or 143 must be as well. In fact, 19 × 7 = 133.This property is the key in the proof of the fundamental theorem of arithmetic.
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  • Lemme d'Euclide
  • Euclid's lemma
  • Eukleidovo lemma
  • Lema d'Euclides
  • Lema de Euclides
  • Lemat Euklidesa
  • Lemma di Euclide
  • Lemma von Euklid
  • Лемма Евклида
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