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  • En mathématiques et plus précisément en théorie algébrique des nombres, l'anneau des entiers algébriques d'un corps quadratique ressemble à certains égards à celui des entiers relatifs. Certains d'entre eux sont euclidiens comme celui des entiers de Gauss d'Eisenstein ou les entiers du corps ℚ(√5). Cette propriété a pour conséquence les théorèmes classiques de l'arithmétique : identité de Bézout, lemme d'Euclide ou encore le théorème fondamental de l'arithmétique.En revanche, nombre d'anneaux d'entiers quadratiques ne sont pas euclidiens ni même principaux ou factoriels. Ernst Kummer, confronté à cette difficulté, découvre la notion de nombres idéaux (en), qui lui permet de démontrer le dernier théorème de Fermat dans de nombreux cas. Cette approche, finalisée par Richard Dedekind, permet d'offrir un palliatif à cette absence de factorialité. Si les nombres ne peuvent plus se décomposer en produit de facteurs premiers, de manière unique, sous un certain angle, les idéaux le peuvent.Cette démarche permet la résolution de certaines équations diophantiennes, comme un cas relativement général de l'équation de Pell-Fermat ou des généralisations du théorème des deux carrés de Fermat. Le cas particulier de l'anneau des entiers quadratiques correspond à un cas simple d'une théorie plus vaste, celle des entiers algébriques. Les théorèmes fondamentaux comme l'unicité de la décomposition d'un idéal fractionnaire en idéaux premiers ou le caractère fini du groupe des classes d'idéaux prend une forme analogue à celle du cas général, mais reste plus simple à comprendre.
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  • 1990 (xsd:integer)
  • 1997 (xsd:integer)
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  • 1989 (xsd:integer)
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  • Soit I un idéal premier non nul de cet anneau A. L'anneau A/I est un anneau intègre fini donc un corps, si bien que I est maximal.
  • Une démonstration précise est proposée dans l'article détaillé. Elle utilise le fait qu'il suffit de démontrer cette proposition dans le cas où l'un des idéaux est premier et se fonde sur le troisième théorème d'isomorphisme, d'après lequel le groupe abélien ℤ[ω]/J est isomorphe au quotient de ℤ[ω]/ par le sous-groupe J/, et sur le fait que ce sous-groupe est isomorphe à ℤ[ω]/J si J est maximal.
  • Le couple = est une base du ℤ-module ℤ[ω] et le couple est une base du sous-module que constitue l'idéal. Le quotient est donc isomorphe à / ≃ × . * Tout idéal premier non nul d'un anneau d'entiers quadratiques est maximal :
  • * Le quotient de ℤ[ω] par l'idéal c est d'ordre ac :
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  • 978 (xsd:integer)
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  • Michael Rosen
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  • Kenneth
  • Michael
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  • 1998 (xsd:integer)
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  • Démonstrations
  • A Classical Introduction to Modern Number Theory
  • Primes of the Form x2+ny2
  • Indications de démonstration
  • Quadratic field
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  • Springer
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  • En mathématiques et plus précisément en théorie algébrique des nombres, l'anneau des entiers algébriques d'un corps quadratique ressemble à certains égards à celui des entiers relatifs. Certains d'entre eux sont euclidiens comme celui des entiers de Gauss d'Eisenstein ou les entiers du corps ℚ(√5).
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  • Idéal de l'anneau des entiers d'un corps quadratique
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