En mathématiques et plus précisément en théorie des groupes, un groupe cyclique, ou ce qui est équivalent, un groupe monogène, est un groupe dans lequel il existe un élément a tel que tout élément du groupe puisse (en notation additive) s'exprimer sous forme d'un multiple de a ; cet élément a est appelé générateur du groupe.Il n'existe, à isomorphisme près, qu'un seul groupe cyclique infini : le groupe additif ℤ des entiers relatifs et, pour tout entier n > 0, qu'un seul groupe cyclique d'ordre n : le groupe quotient ℤ/nℤ de ℤ par le sous-groupe des multiples de n.Les groupes cycliques sont importants en algèbre.

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  • En mathématiques et plus précisément en théorie des groupes, un groupe cyclique, ou ce qui est équivalent, un groupe monogène, est un groupe dans lequel il existe un élément a tel que tout élément du groupe puisse (en notation additive) s'exprimer sous forme d'un multiple de a ; cet élément a est appelé générateur du groupe.Il n'existe, à isomorphisme près, qu'un seul groupe cyclique infini : le groupe additif ℤ des entiers relatifs et, pour tout entier n 0, qu'un seul groupe cyclique d'ordre n : le groupe quotient ℤ/nℤ de ℤ par le sous-groupe des multiples de n.Les groupes cycliques sont importants en algèbre. On les retrouve, par exemple, en théorie des anneaux et en théorie de Galois.
  • 群論における巡回群(じゅんかいぐん、英: cyclic group)とは、ただ一つの元で生成することができる群(単項生成群)のことである。ここで群が「ただ一つの元で生成される」というのは、その群の適当な元 g をとれば、その群のどの元も(群が乗法的に書かれている場合は)g の整数冪として(群が加法的に書かれている場合は g の整数倍として)表されるということであり、このような元 g はこの群の生成元 (generator) あるいは原始元 (primitive) と呼ばれる。
  • Grupa cykliczna – grupa, której wszystkie elementy można wyrazić za pomocą potęg pewnego jej elementu. Równoważnie jest to grupa generowana przez jeden z jej elementów (elementów, które generują tę grupę może być wiele).
  • In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een cyclische groep een groep die kan worden voortgebracht door één enkel element, in de zin dat de groep een element g (genoemd een "voortbrenger") heeft, zodanig dat, wanneer multiplicatief geschreven, elk element van de groep een macht van g is (wanneer de notatie additief is, een veelvoud van g).
  • Ciklikus csoporton a csoportelméletben olyan csoportot értünk, melyet egy elemének egész kitevős hatványai előállítanak.A ciklikus csoportok a leginkább átlátható algebrai szerkezetű, legkezelhetőbb csoportok közé tartoznak. Az m elemű (m pozitív egész szám) ciklikus csoportok izomorfak a moduló m maradékosztályok additív csoportjával (Zm={0,1,…,m-1}-gyel), a végtelen elemszámú ciklikus csoportok pedig magával az egész számok additív csoportjával (Z illetve Z+). A véges csoportok osztályozásának elméletében nagy jelentősége van a ciklikus csoportoknak, mert minden prím elemszámú csoport ciklikus csoport, amikből minden véges Abel-csoport felépíthető.A ciklikus csoportok Abel-csoportok, ezért additív jelöléssel is találkozhatunk.
  • V matematice konkrétně v teorii grup se pojmem cyklická grupa označuje grupa, která může být generována jedním jediným prvkem (to znamená, že v grupě existuje prvek a tak, že každý prvek grupy je mocninou a). Tento prvek se nazývá generátor cyklické grupy. Cyklická grupa může mít více než jeden generátor. Například grupa všech celých čísel mod 5 se sčítáním má čtyři generátory: 1, 2, 3 a 4.
  • In algebra, a cyclic group is a group that is generated by a single element. That is, it consists of a set of elements with a single invertible associative operation, and it contains an element g such that every other element of the group may be obtained by repeatedly applying the group operation or its inverse to g. Each element can be written as a power of g in multiplicative notation, or as a multiple of g in additive notation. This element g is called a generator of the group.Every infinite cyclic group is isomorphic to the additive group of Z, the integers. Every finite cyclic group of order n is isomorphic to the additive group of Z/nZ, the integers modulo n. Every cyclic group is an abelian group (meaning that its group operation is commutative), and every finitely generated abelian group is a direct product of cyclic groups.
  • Um grupo diz-se cíclico se for gerado por um único elemento.
  • En teoría de grupos, un grupo cíclico es un grupo que puede ser generado por un solo elemento; es decir, hay un elemento a del grupo G (llamado "generador" de G), tal que todo elemento de G puede ser expresado como una potencia de a. Si la operación del grupo se denota aditivamente, se dirá que todo elemento de G se puede expresar como na, para n entero.En otras palabras, G es cíclico, con generador a, si G = { an | n ∈ Z }. Dado que un grupo generado por un elemento de G es, en sí mismo, un subgrupo de G, basta con demostrar que el único subgrupo de G que contiene a a es el mismo G para probar que éste es cíclico.Por ejemplo, G = { e, g1, g2, g3, g4, g5 } es cíclico. De hecho, G es esencialmente igual (esto es, isomorfo) al grupo { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } bajo la operación de suma módulo 6. El isomorfismo se puede hallar fácilmente haciendo ga→ a. Contrariamente a lo que sugiere la palabra "cíclico", es posible generar infinitos elementos y no formar nunca un ciclo real: es decir, que cada gn sea distinto. Un tal grupo sería un grupo cíclico infinito, isomorfo al grupo Z de los enteros bajo la adición.Salvo isomorfismos, existe exactamente un grupo cíclico para cada cantidad finita de elementos, y exactamente un grupo cíclico infinito. Por lo anterior, los grupos cíclicos son de algún modo los más simples, y han sido completamente clasificados.Por esto, los grupos cíclicos normalmente se denotan simplemente por el grupo "canónico" al que son isomorfos: si el grupo es de orden n, para n entero, dicho grupo es el grupo Zn de enteros { 0, ..., n-1 } bajo la adición módulo n. Si es infinito, éste es, como cabe esperarse, Z.La notación Zn comúnmente es evitada por teoristas de los números, puesto que puede ser confundida con la notación usual para los números p-ádicos. Una alternativa es usar la notación de grupo cociente, Z/nZ; otra posible solución es denotar la operación multiplicativamente, y representar el grupo Cn = { e, a1, a2, ..., an-1 }. Empero, estas dos notaciones no son tan populares como Zn.
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  • C'est une conséquence directe de la proposition précédente. * L'image d'un caractère est l'ensemble des racines pièmes de l'unité, où p est le cardinal de l'image.
  • * Soit g un générateur du groupe cyclique et r une racine n-ième de l'unité, alors il existe un et un seul caractère ψ tel que l'image de g par ψ soit égal à r. De plus, ψ est défini par l'égalité suivante :L'image d'un générateur détermine entièrement le caractère. En effet, pour tout élément du groupe, il existe un entier m tel que gm est égal à cet élément. De plus, l'application définie par l'égalité précédente est clairement un morphisme. La proposition est donc bien démontrée. * Il existe exactement n caractères pour un groupe cyclique d'ordre n.
  • L'image d'un générateur par un caractère engendre un sous-groupe, soit p son cardinal. Le théorème de Lagrange démontre que tout élément de l'image est une racine pième de l'unité et que p divise n. Or, il existe exactement p racines de l'unité, ces racines forment donc l'image du caractère et la proposition est démontrée.
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  • Labarre
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  • Démonstrations
  • La théorie des groupes
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  • En mathématiques et plus précisément en théorie des groupes, un groupe cyclique, ou ce qui est équivalent, un groupe monogène, est un groupe dans lequel il existe un élément a tel que tout élément du groupe puisse (en notation additive) s'exprimer sous forme d'un multiple de a ; cet élément a est appelé générateur du groupe.Il n'existe, à isomorphisme près, qu'un seul groupe cyclique infini : le groupe additif ℤ des entiers relatifs et, pour tout entier n > 0, qu'un seul groupe cyclique d'ordre n : le groupe quotient ℤ/nℤ de ℤ par le sous-groupe des multiples de n.Les groupes cycliques sont importants en algèbre.
  • 群論における巡回群(じゅんかいぐん、英: cyclic group)とは、ただ一つの元で生成することができる群(単項生成群)のことである。ここで群が「ただ一つの元で生成される」というのは、その群の適当な元 g をとれば、その群のどの元も(群が乗法的に書かれている場合は)g の整数冪として(群が加法的に書かれている場合は g の整数倍として)表されるということであり、このような元 g はこの群の生成元 (generator) あるいは原始元 (primitive) と呼ばれる。
  • Grupa cykliczna – grupa, której wszystkie elementy można wyrazić za pomocą potęg pewnego jej elementu. Równoważnie jest to grupa generowana przez jeden z jej elementów (elementów, które generują tę grupę może być wiele).
  • In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een cyclische groep een groep die kan worden voortgebracht door één enkel element, in de zin dat de groep een element g (genoemd een "voortbrenger") heeft, zodanig dat, wanneer multiplicatief geschreven, elk element van de groep een macht van g is (wanneer de notatie additief is, een veelvoud van g).
  • V matematice konkrétně v teorii grup se pojmem cyklická grupa označuje grupa, která může být generována jedním jediným prvkem (to znamená, že v grupě existuje prvek a tak, že každý prvek grupy je mocninou a). Tento prvek se nazývá generátor cyklické grupy. Cyklická grupa může mít více než jeden generátor. Například grupa všech celých čísel mod 5 se sčítáním má čtyři generátory: 1, 2, 3 a 4.
  • Um grupo diz-se cíclico se for gerado por um único elemento.
  • En teoría de grupos, un grupo cíclico es un grupo que puede ser generado por un solo elemento; es decir, hay un elemento a del grupo G (llamado "generador" de G), tal que todo elemento de G puede ser expresado como una potencia de a. Si la operación del grupo se denota aditivamente, se dirá que todo elemento de G se puede expresar como na, para n entero.En otras palabras, G es cíclico, con generador a, si G = { an | n ∈ Z }.
  • In algebra, a cyclic group is a group that is generated by a single element. That is, it consists of a set of elements with a single invertible associative operation, and it contains an element g such that every other element of the group may be obtained by repeatedly applying the group operation or its inverse to g. Each element can be written as a power of g in multiplicative notation, or as a multiple of g in additive notation.
  • Ciklikus csoporton a csoportelméletben olyan csoportot értünk, melyet egy elemének egész kitevős hatványai előállítanak.A ciklikus csoportok a leginkább átlátható algebrai szerkezetű, legkezelhetőbb csoportok közé tartoznak. Az m elemű (m pozitív egész szám) ciklikus csoportok izomorfak a moduló m maradékosztályok additív csoportjával (Zm={0,1,…,m-1}-gyel), a végtelen elemszámú ciklikus csoportok pedig magával az egész számok additív csoportjával (Z illetve Z+).
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  • Groupe cyclique
  • Ciklikus csoport
  • Cyclic group
  • Cyclische groep
  • Cyklická grupa
  • Grup cíclic
  • Grupa cykliczna
  • Grupo cíclico
  • Grupo cíclico
  • Gruppo ciclico
  • Zyklische Gruppe
  • Циклическая группа
  • 巡回群
  • 순환군
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