En mathématiques, et plus précisément en logique mathématique, le forcing est une technique inventée par Paul Cohen pour prouver des résultats de cohérence et d'indépendance en théorie des ensembles. Elle a été utilisée pour la première fois en 1962 pour prouver l'indépendance de l'hypothèse du continu vis-à-vis de la théorie ZFC.

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  • En mathématiques, et plus précisément en logique mathématique, le forcing est une technique inventée par Paul Cohen pour prouver des résultats de cohérence et d'indépendance en théorie des ensembles. Elle a été utilisée pour la première fois en 1962 pour prouver l'indépendance de l'hypothèse du continu vis-à-vis de la théorie ZFC. Combinée avec la technique des modèles de permutation de Fraenkel-Mostowski-Specker (de), elle a permis également d'établir l'indépendance de l'axiome du choix relativement à ZF. Le forcing a été notablement remanié et simplifié dans les années soixante et s'est révélé être une technique extrêmement puissante, à la fois en théorie des ensembles et dans d'autres branches de la logique mathématique, comme la théorie des modèles ou la logique intuitionniste.
  • A forszolás (forcing) mint a relatív konzisztencia bizonyításokra alkalmas módszer, a modern matematika történetének egyik legújabb nagy eredménye. A módszer halmazelméleti kidolgozója Paul Cohen,aki a forszolással sikeresen bizonyította a kontinuumhipotézis függetlenségét.A másik jelentős eredmény, amit Cohen maga bizonyított a forszolás segítségével, a kiválasztási axióma függetlensége.A forszolás alapgondolata, hogy a halmazelmélet egy tranzitív modelljét (the ground model) úgy bővítjük, hogy hozzáveszünk egy új G halmazt (a generic set), hogy ezáltal a halmazelméletnek egy tágabb tranzitív modelljéhez jussunk M[G], amit eztán bővebb modellnek (generic extension) nevezünk. A G halmaz közelítése az alapmodellben meghatározott forszolási feltételek által történik, s e feltételek megfelelő kiválasztása meghatározza, hogy mi igaz a bővebb modellben.A módszer 1963-as bevezetése óta a forszolás számos esetben került alkalmazásra, sőt,(bizonyos továbbfejlesztéseknek köszönhetően) gyakorlatilag meghatározó szerepe letta modellmódszeres relatív konzisztencia bizonyítások körében.
  • In the mathematical discipline of set theory, forcing is a technique invented by Paul Cohen for proving consistency and independence results. It was first used, in 1963, to prove the independence of the axiom of choice and the continuum hypothesis from Zermelo–Fraenkel set theory. Forcing was considerably reworked and simplified in the 1960s, and has proven to be an extremely powerful technique both within set theory and in areas of mathematical logic such as recursion theory.Descriptive set theory uses both the notion of forcing from recursion theory as well as set theoretic forcing. Forcing has also been used in model theory but it is common in model theory to define genericity directly without mention of forcing.
  • Forsing (používá se též anglický termín forcing) je v matematice obecná důkazová technika, která je základní metodou pro dokazování relativních konzistencí v teorii množin. Poprvé ji použil roku 1962 americký matematik Paul Cohen. O rok později užitím forsingu dokázal bezespornost negace hypotézy kontinua s axiomy Zermelo-Fraenkelovy teorie množin. Ještě v 60. letech 20. století byla rozpracována Dana Scottem, Robertem Solovayem a Petrem Vopěnkou do teorie booleovsky ohodnocených modelů. Forsing je v současné době v podstatě univerzální metodou pro dokazování relativních konzistencí v teorii množin.
  • Em teoria dos conjuntos, forçamento (em inglês, forcing) é uma técnica inventada por Paul Cohen para provar resultados de consistência e independência. Foi usada pela primeira vez em 1962, para provar a independência da hipótese do continuum e do axioma da escolha dos axiomas de Zermelo–Fraenkel. O forçamento foi consideravelmente reelaborado e simplificado na década de 1960, e tem se mostrado ser uma técnica extremamente poderosa tanto em teoria dos conjuntos quando em outras áreas de lógica matemática, tais como teoria da recursão.
  • Forcing (deutsch auch Erzwingung oder Erzwingungsmethode) ist in der Mengenlehre eine Technik zur Konstruktion von Modellen, die hauptsächlich verwendet wird, um relative Konsistenzbeweise zu führen. Sie wurde zuerst 1963 von Paul Cohen verwendet, um die Unabhängigkeit des Auswahlaxioms und der Kontinuumshypothese zu beweisen.Diese Leistung ist 1966 durch die Verleihung der Fields-Medaille gewürdigt worden. Die Forcing-Methode ist von verschiedenen Mathematikern vielfach weiterentwickelt worden.
  • In de wiskundige discipline van de verzamelingenleer is forcing een techniek, die door Paul Cohen is geconstrueerd om consistentie en de onafhankelijkheidsresultaten te bewijzen. Cohen gebruikte de techniek voor het eerst in 1962 om de onafhankelijkheid van de continuümhypothese en het keuzeaxioma te bewijzen van de Zermelo-Fraenkel-verzamelingenleer. Forcing werd in de jaren zestig aanzienlijk herwerkt en vereenvoudigd en heeft zowel binnen de verzamelingenleer als in andere deelgebieden van wiskundige logica, zoals de recursietheorie, bewezen een bijzonder krachtige techniek te zijn.
  • 数学の集合論における強制法(きょうせいほう、Forcing)とは、ポール・コーエンによって開発された、無矛盾性や独立性を証明するための手法である。強制法が初めて使われたのは1962年、連続体仮説と選択公理のZFからの独立性を証明した時のことである。強制法は60年代に大きく再構成されシンプルになり、集合論や、再帰理論などの数理論理学の分野で、極めて強力な手法として使われてきた。
  • Forsing (ang. forcing) – metoda dowodzenia niesprzeczności i niezależności zdań teorii mnogości względem aksjomatów Zermelo-Fraenkela.Można powiedzieć, że forsing to jedna z metod używanych w matematyce, aby ściśle udowodnić że pewnych stwierdzeń nie można udowodnić ani obalić (ten ostatni termin oznacza udowodnienie zaprzeczenia).Należy zauważyć, że polska terminologia w teorii forsingu nie jest jednoznacznie ustalona, chociaż polskojęzyczni matematycy mieli (i mają) bardzo poważny wkład w rozwój tej teorii. Angielskie zwroty forcing i forcing relation tłumaczone są jako forsing, forcing, wymuszanie oraz relacja forsingu, relacja forcingu lub relacja wymuszania. W tym artykule zastosowano fonetyczną interpretację nazewnictwa angielskiego.
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  • Paul Cohen
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  • Étant donnée une sous-famille non dénombrable W ⊆ Fin, elle contient une sous-famille non dénombrable W0 d'ensembles de taille n, pour un certain n fixé 1 pour un nombre non dénombrable de p ∈ W0, on note W1 l'ensemble de ces p, et on répète la construction, obtenant un ensemble fini { , … , }, et une famille non dénombrable W'k de conditions incompatibles de taille n−k telles que chaque e soit dans un nombre au plus dénombrable de domaines dom pour p ∈ W. Choisissons alors un p∈W'k arbitraire, et dans Wk un q dont le domaine a une intersection vide avec celui de p . Alors p ∪ { , … , } et q ∪ { , … , } sont compatibles, donc W n'est pas une antichaîne. Autrement dit, toutes les antichaînes de Fin sont dénombrables.
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  • Démonstration de ce résultat
  • Set Theory: An Introduction to Independence Proofs
  • Set theory and the continuum hypothesis
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  • Addison-Wesley
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  • En mathématiques, et plus précisément en logique mathématique, le forcing est une technique inventée par Paul Cohen pour prouver des résultats de cohérence et d'indépendance en théorie des ensembles. Elle a été utilisée pour la première fois en 1962 pour prouver l'indépendance de l'hypothèse du continu vis-à-vis de la théorie ZFC.
  • Forcing (deutsch auch Erzwingung oder Erzwingungsmethode) ist in der Mengenlehre eine Technik zur Konstruktion von Modellen, die hauptsächlich verwendet wird, um relative Konsistenzbeweise zu führen. Sie wurde zuerst 1963 von Paul Cohen verwendet, um die Unabhängigkeit des Auswahlaxioms und der Kontinuumshypothese zu beweisen.Diese Leistung ist 1966 durch die Verleihung der Fields-Medaille gewürdigt worden. Die Forcing-Methode ist von verschiedenen Mathematikern vielfach weiterentwickelt worden.
  • 数学の集合論における強制法(きょうせいほう、Forcing)とは、ポール・コーエンによって開発された、無矛盾性や独立性を証明するための手法である。強制法が初めて使われたのは1962年、連続体仮説と選択公理のZFからの独立性を証明した時のことである。強制法は60年代に大きく再構成されシンプルになり、集合論や、再帰理論などの数理論理学の分野で、極めて強力な手法として使われてきた。
  • In de wiskundige discipline van de verzamelingenleer is forcing een techniek, die door Paul Cohen is geconstrueerd om consistentie en de onafhankelijkheidsresultaten te bewijzen. Cohen gebruikte de techniek voor het eerst in 1962 om de onafhankelijkheid van de continuümhypothese en het keuzeaxioma te bewijzen van de Zermelo-Fraenkel-verzamelingenleer.
  • A forszolás (forcing) mint a relatív konzisztencia bizonyításokra alkalmas módszer, a modern matematika történetének egyik legújabb nagy eredménye.
  • Forsing (ang.
  • Em teoria dos conjuntos, forçamento (em inglês, forcing) é uma técnica inventada por Paul Cohen para provar resultados de consistência e independência. Foi usada pela primeira vez em 1962, para provar a independência da hipótese do continuum e do axioma da escolha dos axiomas de Zermelo–Fraenkel.
  • In the mathematical discipline of set theory, forcing is a technique invented by Paul Cohen for proving consistency and independence results. It was first used, in 1963, to prove the independence of the axiom of choice and the continuum hypothesis from Zermelo–Fraenkel set theory.
  • Forsing (používá se též anglický termín forcing) je v matematice obecná důkazová technika, která je základní metodou pro dokazování relativních konzistencí v teorii množin. Poprvé ji použil roku 1962 americký matematik Paul Cohen. O rok později užitím forsingu dokázal bezespornost negace hypotézy kontinua s axiomy Zermelo-Fraenkelovy teorie množin. Ještě v 60. letech 20. století byla rozpracována Dana Scottem, Robertem Solovayem a Petrem Vopěnkou do teorie booleovsky ohodnocených modelů.
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