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- En géométrie, la notion de jauge généralise celle de semi-norme. À toute partie C d'un ℝ-espace vectoriel E on associe sa jauge, ou fonctionnelle de Minkowski pC, qui est une application de E dans [0, +∞] mesurant, pour chaque vecteur, par quel rapport il faut dilater C pour englober ce vecteur. Dès que C contient l'origine, pC est positivement homogène ; si C est étoilée par rapport à 0, pC possède d'autres propriétés élémentaires. Si C est convexe — cas le plus souvent étudié — pC est même sous-linéaire, mais elle n'est pas nécessairement symétrique et elle peut prendre des valeurs infinies. Sous certaines hypothèses supplémentaires, pC est une semi-norme dont C est la boule unité. Cette notion intervient en analyse fonctionnelle (démonstration de la forme analytique du théorème de Hahn-Banach), en optimisation (problème de recouvrement par jauge, optimisation conique), en apprentissage automatique, en géométrie des nombres (second théorème de Minkowski), etc. Dans tout cet article, E désigne un espace vectoriel réel, qu'on supposera topologique chaque fois que nécessaire. (fr)
- En géométrie, la notion de jauge généralise celle de semi-norme. À toute partie C d'un ℝ-espace vectoriel E on associe sa jauge, ou fonctionnelle de Minkowski pC, qui est une application de E dans [0, +∞] mesurant, pour chaque vecteur, par quel rapport il faut dilater C pour englober ce vecteur. Dès que C contient l'origine, pC est positivement homogène ; si C est étoilée par rapport à 0, pC possède d'autres propriétés élémentaires. Si C est convexe — cas le plus souvent étudié — pC est même sous-linéaire, mais elle n'est pas nécessairement symétrique et elle peut prendre des valeurs infinies. Sous certaines hypothèses supplémentaires, pC est une semi-norme dont C est la boule unité. Cette notion intervient en analyse fonctionnelle (démonstration de la forme analytique du théorème de Hahn-Banach), en optimisation (problème de recouvrement par jauge, optimisation conique), en apprentissage automatique, en géométrie des nombres (second théorème de Minkowski), etc. Dans tout cet article, E désigne un espace vectoriel réel, qu'on supposera topologique chaque fois que nécessaire. (fr)
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- SIAM Journal on Optimization (fr)
- Journal of Optimization Theory and Applications (fr)
- SIAM Journal on Optimization (fr)
- Journal of Optimization Theory and Applications (fr)
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| prop-fr:titre
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- Convex Analysis (fr)
- Fundamentals of Convex Analysis (fr)
- Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide (fr)
- Handbook of Analysis and Its Foundations (fr)
- Gauge optimization and duality (fr)
- On the solution uniqueness characterization in the L1 norm and polyhedral gauge recovery (fr)
- Convex Analysis (fr)
- Fundamentals of Convex Analysis (fr)
- Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide (fr)
- Handbook of Analysis and Its Foundations (fr)
- Gauge optimization and duality (fr)
- On the solution uniqueness characterization in the L1 norm and polyhedral gauge recovery (fr)
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- Sublinear functions and gauges (fr)
- Sublinear functions and gauges (fr)
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- En géométrie, la notion de jauge généralise celle de semi-norme. À toute partie C d'un ℝ-espace vectoriel E on associe sa jauge, ou fonctionnelle de Minkowski pC, qui est une application de E dans [0, +∞] mesurant, pour chaque vecteur, par quel rapport il faut dilater C pour englober ce vecteur. Dès que C contient l'origine, pC est positivement homogène ; si C est étoilée par rapport à 0, pC possède d'autres propriétés élémentaires. Si C est convexe — cas le plus souvent étudié — pC est même sous-linéaire, mais elle n'est pas nécessairement symétrique et elle peut prendre des valeurs infinies. Sous certaines hypothèses supplémentaires, pC est une semi-norme dont C est la boule unité. (fr)
- En géométrie, la notion de jauge généralise celle de semi-norme. À toute partie C d'un ℝ-espace vectoriel E on associe sa jauge, ou fonctionnelle de Minkowski pC, qui est une application de E dans [0, +∞] mesurant, pour chaque vecteur, par quel rapport il faut dilater C pour englober ce vecteur. Dès que C contient l'origine, pC est positivement homogène ; si C est étoilée par rapport à 0, pC possède d'autres propriétés élémentaires. Si C est convexe — cas le plus souvent étudié — pC est même sous-linéaire, mais elle n'est pas nécessairement symétrique et elle peut prendre des valeurs infinies. Sous certaines hypothèses supplémentaires, pC est une semi-norme dont C est la boule unité. (fr)
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- Fonctionnelle de Minkowski (fr)
- Funkcjonał Minkowskiego (pl)
- Funzionale di Minkowski (it)
- Minkowski functional (en)
- Minkowski-Funktional (de)
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