L'analyse mathématique regroupe sous le terme de fonctions spéciales un ensemble de fonctions analytiques non élémentaires, qui sont apparues au XIXe siècle comme solutions d'équations de la physique mathématique, particulièrement les équations aux dérivées partielles d'ordre deux et quatre.Comme leurs propriétés ont été étudiées (et continuent d'être étudiées) extensivement, on dispose à leur sujet d'une multitude d'informations.

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  • L'analyse mathématique regroupe sous le terme de fonctions spéciales un ensemble de fonctions analytiques non élémentaires, qui sont apparues au XIXe siècle comme solutions d'équations de la physique mathématique, particulièrement les équations aux dérivées partielles d'ordre deux et quatre.Comme leurs propriétés ont été étudiées (et continuent d'être étudiées) extensivement, on dispose à leur sujet d'une multitude d'informations. Non seulement elles interviennent dans l'expression des solutions exactes de certaines équations aux dérivées partielles pour des conditions aux limites particulières, mais elles fournissent, par le biais des méthodes spectrales, les meilleures approximations numériques pour des conditions aux limites quelconques.Certaines d'entre elles jouent également un rôle de premier plan en théorie des nombres (fonction zêta de Riemann, logarithme intégral).
  • 수학에서, 특수 함수(特殊函數, 영어: special function)는 일반적으로 형식적인 정의는 따로 갖고 있지 않지만, 해석학, 함수해석학, 물리학 등에서의 중요성으로 인해 확립된 명칭을 가지는 몇몇 수학적 함수를 가리킨다.특수 함수 가운데 다수는 미분방정식의 해 또는 초등 함수의 적분으로 등장한다. 따라서 적분을 정리한 표 중 다수는 특수 함수에 대한 간략한 설명이 함께 딸려있고, 특수 함수를 정리한 표는 중요한 적분 공식과 특수 함수의 적분 표현이 함께 수록되어 있는 경우가 많다.Mathematica 등의 기호연산 언어는 대부분의 특수 함수를 인식한다. 하지만 그런 부류의 프로그램들이 모두 효율적인 평가 알고리즘을 사용하는 것은 아니다. 복수평면에서의 경우 특히 그렇다.
  • In matematica sono chiamate funzioni speciali delle specifiche funzioni di variabili reali o complesse a valori reali o complessi che hanno proprietà che le rendono utili in diverse applicazioni e che rendono opportuno il loro studio sistematico, soprattutto per quanto riguarda le loro applicazioni computazionali e le loro connessioni con altre funzioni, equazioni differenziali e di altri generi e altre strutture non necessariamente continue. Esempi di funzioni speciali sono le funzioni trigonometriche, le armoniche cilindriche e sferiche. Non esiste una teoria unitaria delle funzioni speciali: accade invece che alcune loro proprietà sono studiate nell'ambito di discipline matematiche di ampia portata come l'analisi matematica, l'analisi funzionale e la teoria delle funzioni olomorfe, altre sono inquadrate da teorie che considerano famiglie abbastanza ampie di funzioni ma caratterizzate di proprietà relativamente specifiche, come il calcolo umbrale o la teoria delle rappresentazioni dei gruppi di Lie, altre ancora sono esaminate a partire da proprietà peculiari, ad esempio a partire da determinate equazioni differenziali ordinarie. Nonostante questa mancanza di unitarietà ma in considerazione dell'importanza dell'argomento, la classificazione MSC2000 prevede un codice primario (33-XX) per le ricerche in questo settore.Mentre la trigonometria e le relative funzioni sono solidamente codificate, come è risultato chiaro agli esperti di matematica fin dal XVIII secolo (se non da prima), la ricerca di teorie complete e unificanti per le funzioni speciali è continuata fin dal XIX secolo. Un periodo di importanti risultati si è avuto tra il 1850 e il 1900 con lo sviluppo della teoria delle funzioni ellittiche; hanno potuto essere pubblicati trattati sostanzialmente completi costituenti manuali con tutte le identità di base soddisfatte da queste funzioni. Questa teoria si basava sulle tecniche dell'analisi complessa e da allora la teoria delle funzioni analitiche, che già aveva consentito di unificare funzioni trigonometriche e funzione esponenziale, è stata riconosciuta come strumento fondamentale. Verso la fine del XIX secolo si è inoltre sviluppata un'ampia discussione delle armoniche sferiche.Naturalmente l'aspirazione ad un'ampia teoria capace di includere quanti più possibili risultati sulle funzioni speciali conosciute ha una forte valenza intellettuale; conviene tuttavia notare che vi sono altre ragioni per ricercarla. Per molto tempo le funzioni speciali sono state considerate appartenere al dominio della matematica applicata e le applicazioni alle scienze fisiche e all'ingegneria hanno determinato l'importanza di tali funzioni. Prima della disponibilità del computer, la presentazione di una funzione speciale andava conclusa con tavole il più possibile complete e precise dei suoi valori numerici (calcolati manualmente). Queste tavole numeriche (come le familiari tavole dei logaritmi) erano un prodotto che richiedeva notevole impegno, anche finanziario, finalizzato a rendere effettivamente utilizzabile la funzione. Gli aspetti dello studio delle funzioni speciali che allora contavano maggiormente erano due: la scoperta di sviluppi in serie o di altre espressioni analitiche che consentissero di calcolare efficientemente i valori numerici (con interessanti ricadute sull'analisi numerica); la possibilità di ricondurre ad una particolare funzione il maggior numero possibile di funzioni speciali.Questi aspetti si contrappongono agli approcci tipici della matematica pura: analisi asintotica, continuazione analitica e monodromia nel piano complesso, e scoperta di proprietà di simmetria e di altre strutture sotto la facciata delle numerose formule specifiche che si erano individuate. Tra i due tipi di approcci comunque non si ha un reale conflitto.La teoria delle funzioni speciali nel XX secolo ha visto lo sviluppo di molti nuovi punti di vista. Nel classico testo A Course of Modern Analysis di Edmund Taylor Whittaker e George Neville Watson, noto come il Whittaker e Watson, costituisce un'esposizione unitaria della teoria mediante le variabili complesse. Il volume di George Neville Watson The theory of Bessel functions, del 1922, ha spinto molto avanti le tecniche concernenti gli sviluppi asintotici per un'importante classe di funzioni speciali. Intorno al 1950 il Bateman manuscript project ha prodotto una raccolta enciclopedica dei risultati, proprio quando lo sviluppo dei calcoli elettronici stava per cambiare le motivazioni della teoria togliendo il primato alla compilazione di tavole numeriche. La teoria dei polinomi ortogonali ha una portata limitata ma ben focalizzata. Le serie ipergeometriche hanno costituito una teoria complessa e di ampia portata, ancora molto attuale e bisognosa di sistemazioni concettuali. La teoria dei gruppi di Lie, e in particolare la teoria delle rappresentazioni, generalizza la trattazione basata sulla simmetria delle funzioni sferiche e dal 1950 in poi parti sostanziali delle teoria precedente hanno potuto essere riformulate in termini di gruppi di Lie. A partire dagli anni 1960 lo sviluppo della combinatoria algebrica (in particolare con il moderno calcolo umbrale, con la nozione di funzione generatrice e con il collegamento alle specie di strutture di André Joyal, ha rinnovato i punti di vista e gli interessi di parti tradizionali della teoria. Le congetture di Ian Macdonald hanno aiutato ad aprire ampi e vivaci nuovi campi di ricerca con tipici orientamenti verso le funzioni speciali. Le equazioni alle differenze hanno cominciato a affiancarsi alle equazioni differenziali per svolgere il ruolo delle sorgenti di funzioni speciali.In teoria dei numeri sono state studiate tradizionalmente alcune funzioni speciali, come particolari serie di Dirichlet e forme modulari. In esse sono rispecchiati quasi tutti gli aspetti della teoria delle funzioni speciali e in particolare alcuni piuttosto recenti emersi dalla teoria del cosiddetto monstrous moonshine.
  • Una funció especial és una funció matemàtica particular, que per la seva importància en el camp de l'anàlisi matemàtica, anàlisi funcional, la física i altres aplicacions, té noms i designacions més o menys establerts.No hi ha una definició general, però la llista de funcions matemàtiques conté funcions que són generalment acceptades com a especials . En particular, les funcions elementals són també considerades funcions especials .
  • Binnen de wiskunde zijn er diverse speciale functies die veelal gedefinieerd zijn als de ontbrekende schakel in de oplossing van een bepaald analytisch vraagstuk. Dit vraagstuk vindt vaak zijn oorsprong in de techniek; om die reden is het van belang dat een technicus behalve de mathematische definitie van een dergelijke functie, ook concrete functiewaarden ter beschikking heeft. Daarom zijn vele speciale functies ook nauwkeurig getabelleerd (x versus f(x)). De belangrijkste speciale functies zijn: Betafunctie Besselfunctie Elliptische functies Errorfuncties Gammafunctie Hypergeometrische functie Legendrefunctie Riemann-zèta-functie
  • Специалните функции в анализа са широк клас от функции (функции не можещи да се изразят чрез елементарни) с редица приложения в математиката и сродните науки. Специалните функции, най-често, се дефинират с интеграли и редове. Типични представители са гама- и бета- функциите, елиптичните функции и дзета-функцията на Риман. Специалните функции възникват още и като решения на някои диференциални уравнения, напр. функции на Бесел.
  • Uma função especial é uma função matemática particular, que por sua importância no campo da análise matemática, análise funcional, física e outras aplicações, possui nomes e designações mais ou menos estabelecidas.Não existe uma definição geral das mesmas, mas a lista de funções matemáticas contém funções que são geralmente aceitas como especiais. Em particular, as funções elementares são também consideradas funções especiais.
  • Special functions are particular mathematical functions which have more or less established names and notations due to their importance in mathematical analysis, functional analysis, physics, or other applications.There is no general formal definition, but the list of mathematical functions contains functions which are commonly accepted as special. In particular, elementary functions are also considered as special functions.
  • Специальные функции — встречающиеся в различных приложениях математики (чаще всего — в различных задачах математической физики) функции, которые не выражаются через элементарные функции. Специальные функции представляются в виде рядов или интегралов.Специальные функции возникают обычно из следующих соображений: «неберущиеся» интегралы; решения трансцендентных уравнений, не выражающиеся в элементарных функциях; решения дифференциальных уравнений, не выражающиеся в элементарных функциях; ряды, не сходящиеся к элементарным функциям; математическое выражение свойств чисел; необходимость задания функции с необычными свойствами.Это разделение не является строгим, поскольку, например, большинство неэлементарных решений дифференциальных уравнений удалось выразить через неберущийся интеграл или в виде ряда. Поэтому не существует строгой классификации трансцендентных функцийБольшинство специальных функций являются трансцендентными.
  • Özel fonksiyonlar, matematiksel analiz, fonksiyonel analiz ve fizikte belirli bir kullanımı olan ve genellikle litaratüre kazandıran bilim adamının adıyla anılan fonksiyonlardır.Bir fonksiyonun özel olarak adlandırılması için kabul görmüş genel bir tanımlama yoktur. Ancak pek çok özel fonksiyon fizikte karşılaşılan diferansiyel denklemlerin çözümleriyle ilişkilidir.
  • In der Analysis, einem Teilgebiet der Mathematik, bezeichnet man gewisse Funktionen als spezielle Funktionen, weil sie sowohl in der Mathematik selbst als auch in ihren Anwendungen (z. B. in der mathematischen Physik) eine tragende Rolle spielen. Die meisten speziellen Funktionen sind holomorph oder meromorph und lassen sich in Reihen entwickeln. Sie werden unter anderem deshalb als speziell bezeichnet, weil sie in vielfältiger Weise zueinander in Beziehung stehen. Bei ihrer Untersuchung werden solche Beziehungen beschrieben und neue gefunden. Einige spezielle Funktionen zählen zu den transzendenten Funktionen und werden aufgrund ihrer Sonderstellung auch als höhere transzendente Funktionen bezeichnet. Seit dem 19. Jahrhundert wurden verschiedene Ansätze entwickelt, mit denen wichtige spezielle Funktionen als Spezialfälle von geschlossen darstellbaren Funktionenscharen behandelt werden können. Hierzu zählen u. a. die Meijersche G-Funktion, Foxsche H-Funktion und die hypergeometrische Funktion.
  • 特殊関数(とくしゅかんすう、英: special functions)は、何らかの名前や記法が定着している関数であり、解析学、関数解析学、物理学、その他の応用分野でよく使われる関数であることが多い。何が特殊関数であるかのはっきりした定義は存在しないが、しばしば特殊関数として扱われるものには、ガンマ関数、ベッセル関数、ゼータ関数、楕円関数などがある。一般には初等関数の対義語ではなく、ある関数が初等関数であって同時に特殊関数とされる場合もある。
  • Una función especial es una función matemática particular, que por su importancia en el campo del análisis matemático, análisis funcional, la física y otras aplicaciones, posee nombres y designaciones más o menos establecidos.No existe una definición general de las mismas, pero la lista de funciones matemáticas contiene funciones que son generalmente aceptadas como especiales. En particular, las funciones elementales son también consideradas funciones especiales.
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  • L'analyse mathématique regroupe sous le terme de fonctions spéciales un ensemble de fonctions analytiques non élémentaires, qui sont apparues au XIXe siècle comme solutions d'équations de la physique mathématique, particulièrement les équations aux dérivées partielles d'ordre deux et quatre.Comme leurs propriétés ont été étudiées (et continuent d'être étudiées) extensivement, on dispose à leur sujet d'une multitude d'informations.
  • 수학에서, 특수 함수(特殊函數, 영어: special function)는 일반적으로 형식적인 정의는 따로 갖고 있지 않지만, 해석학, 함수해석학, 물리학 등에서의 중요성으로 인해 확립된 명칭을 가지는 몇몇 수학적 함수를 가리킨다.특수 함수 가운데 다수는 미분방정식의 해 또는 초등 함수의 적분으로 등장한다. 따라서 적분을 정리한 표 중 다수는 특수 함수에 대한 간략한 설명이 함께 딸려있고, 특수 함수를 정리한 표는 중요한 적분 공식과 특수 함수의 적분 표현이 함께 수록되어 있는 경우가 많다.Mathematica 등의 기호연산 언어는 대부분의 특수 함수를 인식한다. 하지만 그런 부류의 프로그램들이 모두 효율적인 평가 알고리즘을 사용하는 것은 아니다. 복수평면에서의 경우 특히 그렇다.
  • Una funció especial és una funció matemàtica particular, que per la seva importància en el camp de l'anàlisi matemàtica, anàlisi funcional, la física i altres aplicacions, té noms i designacions més o menys establerts.No hi ha una definició general, però la llista de funcions matemàtiques conté funcions que són generalment acceptades com a especials . En particular, les funcions elementals són també considerades funcions especials .
  • Специалните функции в анализа са широк клас от функции (функции не можещи да се изразят чрез елементарни) с редица приложения в математиката и сродните науки. Специалните функции, най-често, се дефинират с интеграли и редове. Типични представители са гама- и бета- функциите, елиптичните функции и дзета-функцията на Риман. Специалните функции възникват още и като решения на някои диференциални уравнения, напр. функции на Бесел.
  • Uma função especial é uma função matemática particular, que por sua importância no campo da análise matemática, análise funcional, física e outras aplicações, possui nomes e designações mais ou menos estabelecidas.Não existe uma definição geral das mesmas, mas a lista de funções matemáticas contém funções que são geralmente aceitas como especiais. Em particular, as funções elementares são também consideradas funções especiais.
  • Special functions are particular mathematical functions which have more or less established names and notations due to their importance in mathematical analysis, functional analysis, physics, or other applications.There is no general formal definition, but the list of mathematical functions contains functions which are commonly accepted as special. In particular, elementary functions are also considered as special functions.
  • Özel fonksiyonlar, matematiksel analiz, fonksiyonel analiz ve fizikte belirli bir kullanımı olan ve genellikle litaratüre kazandıran bilim adamının adıyla anılan fonksiyonlardır.Bir fonksiyonun özel olarak adlandırılması için kabul görmüş genel bir tanımlama yoktur. Ancak pek çok özel fonksiyon fizikte karşılaşılan diferansiyel denklemlerin çözümleriyle ilişkilidir.
  • 特殊関数(とくしゅかんすう、英: special functions)は、何らかの名前や記法が定着している関数であり、解析学、関数解析学、物理学、その他の応用分野でよく使われる関数であることが多い。何が特殊関数であるかのはっきりした定義は存在しないが、しばしば特殊関数として扱われるものには、ガンマ関数、ベッセル関数、ゼータ関数、楕円関数などがある。一般には初等関数の対義語ではなく、ある関数が初等関数であって同時に特殊関数とされる場合もある。
  • Una función especial es una función matemática particular, que por su importancia en el campo del análisis matemático, análisis funcional, la física y otras aplicaciones, posee nombres y designaciones más o menos establecidos.No existe una definición general de las mismas, pero la lista de funciones matemáticas contiene funciones que son generalmente aceptadas como especiales. En particular, las funciones elementales son también consideradas funciones especiales.
  • In matematica sono chiamate funzioni speciali delle specifiche funzioni di variabili reali o complesse a valori reali o complessi che hanno proprietà che le rendono utili in diverse applicazioni e che rendono opportuno il loro studio sistematico, soprattutto per quanto riguarda le loro applicazioni computazionali e le loro connessioni con altre funzioni, equazioni differenziali e di altri generi e altre strutture non necessariamente continue.
  • Специальные функции — встречающиеся в различных приложениях математики (чаще всего — в различных задачах математической физики) функции, которые не выражаются через элементарные функции.
  • In der Analysis, einem Teilgebiet der Mathematik, bezeichnet man gewisse Funktionen als spezielle Funktionen, weil sie sowohl in der Mathematik selbst als auch in ihren Anwendungen (z. B. in der mathematischen Physik) eine tragende Rolle spielen. Die meisten speziellen Funktionen sind holomorph oder meromorph und lassen sich in Reihen entwickeln. Sie werden unter anderem deshalb als speziell bezeichnet, weil sie in vielfältiger Weise zueinander in Beziehung stehen.
  • Binnen de wiskunde zijn er diverse speciale functies die veelal gedefinieerd zijn als de ontbrekende schakel in de oplossing van een bepaald analytisch vraagstuk. Dit vraagstuk vindt vaak zijn oorsprong in de techniek; om die reden is het van belang dat een technicus behalve de mathematische definitie van een dergelijke functie, ook concrete functiewaarden ter beschikking heeft. Daarom zijn vele speciale functies ook nauwkeurig getabelleerd (x versus f(x)).
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  • Fonction spéciale
  • Funció especial
  • Función especial
  • Funkcje specjalne
  • Funzione speciale
  • Função especial
  • Special functions
  • Speciale functie
  • Spezielle Funktion
  • Özel fonksiyonlar
  • Специални функции
  • Специальные функции
  • 特殊関数
  • 특수 함수
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