En algèbre générale, plus précisément en théorie de Galois, une extension abélienne est une extension de Galois dont le groupe de Galois est abélien. Lorsque ce groupe est cyclique, l'extension est dite cyclique.Toute extension finie d'un corps fini est une extension cyclique.

PropertyValue
dbpedia-owl:abstract
  • En algèbre générale, plus précisément en théorie de Galois, une extension abélienne est une extension de Galois dont le groupe de Galois est abélien. Lorsque ce groupe est cyclique, l'extension est dite cyclique.Toute extension finie d'un corps fini est une extension cyclique. L'étude de la théorie des corps de classes décrit de façon détaillée toutes les extensions abéliennes dans le cas des corps de nombres, et des corps de fonctions de courbes algébriques sur des corps finis, ainsi que dans le cas des corps locaux (théorie locale des corps de classes (en)).
  • In abstract algebra, an abelian extension is a Galois extension whose Galois group is abelian. When the Galois group is a cyclic group, we have a cyclic extension. A Galois extension is called solvable if its Galois group is solvable, i.e. if it is constructed from a series of abelian groups corresponding to intermediate extensions.Every finite extension of a finite field is a cyclic extension. The development of class field theory has provided detailed information about abelian extensions of number fields, function fields of algebraic curves over finite fields, and local fields.There are two slightly different concepts of cyclotomic extensions: these can mean either extensions formed by adjoining roots of unity, or subextensions of such extensions. The cyclotomic fields are examples. Any cyclotomic extension (for either definition) is abelian.If a field K contains a primitive n-th root of unity and the n-th root of an element of K is adjoined, the resulting so-called Kummer extension is an abelian extension (if K has characteristic p we should say that p doesn't divide n, since otherwise this can fail even to be a separable extension). In general, however, the Galois groups of n-th roots of elements operate both on the n-th roots and on the roots of unity, giving a non-abelian Galois group as semi-direct product. The Kummer theory gives a complete description of the abelian extension case, and the Kronecker–Weber theorem tells us that if K is the field of rational numbers, an extension is abelian if and only if it is a subfield of a field obtained by adjoining a root of unity.There is an important analogy with the fundamental group in topology, which classifies all covering spaces of a space: abelian covers are classified by its abelianisation which relates directly to the first homology group.
  • 抽象代数学では、ガロア群がアーベル群となるようなガロア拡大のことをアーベル拡大(abelian extension)と言う。ガロア群が巡回群のときは、巡回拡大(cyclic extension)という。ガロア拡大が可解(solvable)とは、ガロア群が可解群、つまり中間拡大に対応する一連のアーベル群の列からガロア群が構成されるときを言う。有限体の全ての有限拡大は、巡回拡大である。類体論の発展は、数体と局所体と、有限体上の代数曲線の函数体(function fields)のアーベル拡大への詳細情報をもたらした。円分拡大には 2つの点で少し異なる概念がある。円分拡大の可能性のひとつは 1のべき根による拡大であり、もうひとつは 1のべき根による拡大の部分拡大として作られた拡大である。円分体が例であり、任意の円分拡大は定義によりアーベル拡大である。体 K が原始的 n-番目のべき根を持ち K の元の n-番目の根と結合させるたとき、クンマー拡大(Kummer extension)といい、アーベル拡大となる。( K の標数を p とすると、p は n を割らないとの前提を入れねばならない。もし割るようであれば、分離拡大(separable extension)も失敗するからである。)しかしながら、一般に、元の n-番目の根のガロア群は、n-番目の根も単位の根も双方に作用し、準直積(semi-direct product)として非アーベル的ガロア群を構成する。クンマー理論(Kummer theory)は、アーベル拡大を完全に記述する。クロネッカー・ウェーバーの定理は、K が有理数体のとき、拡大がアーベル的であるということと、拡大が単位の根を代数的に結合した値とする体の部分体であることとは同値であると言う定理である。トポロジーでは基本群の重要な類似があり、全ての被覆空間を分類する。すなわち、第一ホモロジー群に直接関連付けられるアーベル化により、アーベル被覆が分類される。
  • En algebra abstracta, una extensión abeliana es una extensión de Galois cuyo grupo de Galois es abeliano. Cuando el grupo de Galois es un grupo cíclico, entonces tenemos una extensión cíclica.Cualquier extensión finita de un cuerpo finito es una extensión cíclica. El desarrollo de la teoría de cuerpos de clases ha proporcionado información detallada sobre las extensiones abelianas de los cuerpos numéricos, cuerpos funcionales de curvas algebraicas sobre cuerpos finitos, y cuerpos locales.Hay dos conceptos ligeramente diferentes de extensiones ciclotómicas: éstas pueden significar extensiones formadas mediante el adjuntado de raíces de la unidad, o subextensiones de tales extensiones. Los cuerpos ciclotómicos son ejemplos. Cualquier extensión ciclotómica (para otra definición) es abeliana.Si un cuerpo K una n-ésima raíz primitiva de la unidad y la n-ésima raíz de un elemento de K es adjuntada, el resultado, llamado extensión de Kummer es una extensión abeliana (si K tiene característica p se debe decir que p no divide a n, puesto que de otra manera, podría fallar, incluso en ser una extensión separable). Sin embargo, en general, el grupo de Galois de de las raíces n-ésimas de elementos operan conjuntamente sobre las raíces n-ésimas y sobre las raíces de la unidad, dando un grupo de Galois no abeliano como producto semidirecto. La teoría de Kummer proporciona una descripción completa del caso de extensión abeliano, y el teorema de Kronecker-Weber postula que si K es un cuerpo de números racionales, una extensión es abeliana si y sólo si es un subcuerpo de un cuerpo obtenido mediante el adjuntado de una raíz de la unidad.Hay una importante analogía con el grupo fundamental en topología, el cual clasifica todos los espacios recubridores de un espacio: las coberturas abelianas son clasificadas mediante su abelianización, que se relaciona directamente con el primer grupo homológico.
  • Em álgebra abstrata, uma extensão abeliana é uma extensão de Galois na qual o grupo de Galois é abeliano. Quando o grupo de Galois é um grupo cíclico, tem-se uma extensão cíclica.Qualquer extensão finita de um corpo finito é uma extensão cíclica. O desenvolvimento da teoria dos corpos de classes foi provido de detalhada informação sobre extensões abelianas de corpos numéricos, corpos de funções de curvas algébricas sobre corpos finitos, e corpos locais.Existem dois conceitos ligeiramente diferentes de extensões ciclotômicas: podem significar que cada uma destas extensões seja formada por raízes da unidade adjacentes, ou subextensões de tais extensões. Os corpos ciclotômicos são exemplos. Qualquer extensão ciclotômica (para cada definição) é abeliana.Se um corpo K contém uma raiz da unidade n-ésima primitiva e a n-ésimo raiz de um elemento de K é adjunto, o resultado assim chamado extensão de Kummer é uma extensão abeliana (se K tem característica p nós diríamos que p não divide n, desde que de outra maneira este pode mesmo não é uma extensão separável). Em geral, entretanto, os grupos de Galois de raízes n-ésimas de elementos opere ambos nas raízes n-ésimas e sobre as raízes da unidade, dando um grupo de Galois não abeliano como produto semidireto. A teoria de Kummer dá uma completa descrição do caso da extensão abeliana, e o teorema de Kronecker-Weber nos diz que se K é o corpo dos números racionais, e a extensão é abeliana se e somente se é um subcorpo de um corpo obtido por adjunção à raiz da unidade.Há uma importante analogia com o grupo fundamental em topologia, a qual classifica todas as superfíces de cobertura de um espaço: coberturas abelianas são classificadas pela sua abelianisação a qual relaciona-se diretamente ao primeiro grupo de homologia.
  • In de abstracte algebra, een deelgebied van de wiskunde, is een abelse uitbreiding een lichaamsuitbreiding, waarvan de Galoisgroep tevens een abelse groep is. Wanneer de Galoisgroep cyclisch is, spreekt men van een cyclische uitbreiding.Elke eindige uitbreiding van een eindig lichaam (Ned) / eindig veld (Be) is een cyclische uitbreiding. De ontwikkeling van de klassenveldtheorie heeft gedetailleerde informatie opgeleverd over abelse uitbreidingen van getallenlichamen/-velden, functielichamen/-velden van algebraïsche krommen over eindige lichamen/velden en lokale lichamen/velden
dbpedia-owl:wikiPageID
  • 629838 (xsd:integer)
dbpedia-owl:wikiPageLength
  • 3362 (xsd:integer)
dbpedia-owl:wikiPageOutDegree
  • 21 (xsd:integer)
dbpedia-owl:wikiPageRevisionID
  • 101504743 (xsd:integer)
dbpedia-owl:wikiPageWikiLink
prop-fr:wikiPageUsesTemplate
dcterms:subject
rdfs:comment
  • En algèbre générale, plus précisément en théorie de Galois, une extension abélienne est une extension de Galois dont le groupe de Galois est abélien. Lorsque ce groupe est cyclique, l'extension est dite cyclique.Toute extension finie d'un corps fini est une extension cyclique.
  • 抽象代数学では、ガロア群がアーベル群となるようなガロア拡大のことをアーベル拡大(abelian extension)と言う。ガロア群が巡回群のときは、巡回拡大(cyclic extension)という。ガロア拡大が可解(solvable)とは、ガロア群が可解群、つまり中間拡大に対応する一連のアーベル群の列からガロア群が構成されるときを言う。有限体の全ての有限拡大は、巡回拡大である。類体論の発展は、数体と局所体と、有限体上の代数曲線の函数体(function fields)のアーベル拡大への詳細情報をもたらした。円分拡大には 2つの点で少し異なる概念がある。円分拡大の可能性のひとつは 1のべき根による拡大であり、もうひとつは 1のべき根による拡大の部分拡大として作られた拡大である。円分体が例であり、任意の円分拡大は定義によりアーベル拡大である。体 K が原始的 n-番目のべき根を持ち K の元の n-番目の根と結合させるたとき、クンマー拡大(Kummer extension)といい、アーベル拡大となる。( K の標数を p とすると、p は n を割らないとの前提を入れねばならない。もし割るようであれば、分離拡大(separable extension)も失敗するからである。)しかしながら、一般に、元の n-番目の根のガロア群は、n-番目の根も単位の根も双方に作用し、準直積(semi-direct product)として非アーベル的ガロア群を構成する。クンマー理論(Kummer theory)は、アーベル拡大を完全に記述する。クロネッカー・ウェーバーの定理は、K が有理数体のとき、拡大がアーベル的であるということと、拡大が単位の根を代数的に結合した値とする体の部分体であることとは同値であると言う定理である。トポロジーでは基本群の重要な類似があり、全ての被覆空間を分類する。すなわち、第一ホモロジー群に直接関連付けられるアーベル化により、アーベル被覆が分類される。
  • In de abstracte algebra, een deelgebied van de wiskunde, is een abelse uitbreiding een lichaamsuitbreiding, waarvan de Galoisgroep tevens een abelse groep is. Wanneer de Galoisgroep cyclisch is, spreekt men van een cyclische uitbreiding.Elke eindige uitbreiding van een eindig lichaam (Ned) / eindig veld (Be) is een cyclische uitbreiding.
  • In abstract algebra, an abelian extension is a Galois extension whose Galois group is abelian. When the Galois group is a cyclic group, we have a cyclic extension. A Galois extension is called solvable if its Galois group is solvable, i.e. if it is constructed from a series of abelian groups corresponding to intermediate extensions.Every finite extension of a finite field is a cyclic extension.
  • En algebra abstracta, una extensión abeliana es una extensión de Galois cuyo grupo de Galois es abeliano. Cuando el grupo de Galois es un grupo cíclico, entonces tenemos una extensión cíclica.Cualquier extensión finita de un cuerpo finito es una extensión cíclica.
  • Em álgebra abstrata, uma extensão abeliana é uma extensão de Galois na qual o grupo de Galois é abeliano. Quando o grupo de Galois é um grupo cíclico, tem-se uma extensão cíclica.Qualquer extensão finita de um corpo finito é uma extensão cíclica.
rdfs:label
  • Extension abélienne
  • Abelian extension
  • Abelsche Erweiterung
  • Abelse uitbreiding
  • Extensión abeliana
  • Extensão abeliana
  • Абелево расширение
  • アーベル拡大
  • 아벨 확대
owl:sameAs
http://www.w3.org/ns/prov#wasDerivedFrom
foaf:isPrimaryTopicOf
is dbpedia-owl:wikiPageRedirects of
is dbpedia-owl:wikiPageWikiLink of
is foaf:primaryTopic of