En mathématiques, un espace préhilbertien est défini comme un espace vectoriel réel ou complexe muni d'un produit scalaire. Cette notion généralise celles d'espace euclidien ou hermitien dans le cas d'une dimension quelconque, tout en conservant certaines bonnes propriétés géométriques des espaces de dimension finie grâce aux propriétés du produit scalaire, mais en perdant un atout de taille : la complétude.

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  • En mathématiques, un espace préhilbertien est défini comme un espace vectoriel réel ou complexe muni d'un produit scalaire. Cette notion généralise celles d'espace euclidien ou hermitien dans le cas d'une dimension quelconque, tout en conservant certaines bonnes propriétés géométriques des espaces de dimension finie grâce aux propriétés du produit scalaire, mais en perdant un atout de taille : la complétude.
  • In linear algebra, an inner product space is a vector space with an additional structure called an inner product. This additional structure associates each pair of vectors in the space with a scalar quantity known as the inner product of the vectors. Inner products allow the rigorous introduction of intuitive geometrical notions such as the length of a vector or the angle between two vectors. They also provide the means of defining orthogonality between vectors (zero inner product). Inner product spaces generalize Euclidean spaces (in which the inner product is the dot product, also known as the scalar product) to vector spaces of any (possibly infinite) dimension, and are studied in functional analysis.An inner product naturally induces an associated norm, thus an inner product space is also a normed vector space. A complete space with an inner product is called a Hilbert space. An incomplete space with an inner product is called a pre-Hilbert space, since its completion with respect to the norm induced by the inner product becomes a Hilbert space. Inner product spaces over the field of complex numbers are sometimes referred to as unitary spaces.
  • In matematica, lo spazio prehilbertiano o spazio hermitiano è uno spazio vettoriale reale o complesso nel quale è definito un prodotto interno.Si tratta di una struttura algebrica che fa da collegamento tra lo spazio vettoriale semplice e lo spazio di Hilbert, che è uno spazio prehilbertiano completo, tale cioè che la metrica indotta dal prodotto scalare sia completa.
  • 線型代数学における計量ベクトル空間(けいりょうベクトルくうかん、英: metric vector space)は、内積と呼ばれる付加的な構造を備えたベクトル空間であり、内積空間(ないせきくうかん、英: inner product space)とも呼ばれる。この付加構造は、空間内の任意の二つのベクトルに対してベクトルの内積と呼ばれるスカラーを対応付ける。内積によって、ベクトルの長さや二つのベクトルの間の角度などの直観的な幾何学的概念に対する厳密な導入が可能になる。また内積が零になることを以ってベクトルの間の直交性に意味を持たせることもできる。内積空間は、内積として点乗積(スカラー積)を備えたユークリッド空間を任意の次元(無限次元でもよい)のベクトル空間に対して一般化するもので、特に無限次元のものは函数解析学において研究される。内積はそれに付随するノルムを自然に導き、内積空間はノルム空間の構造を持つ。内積に付随するノルムの定める距離に関して完備となる空間はヒルベルト空間と呼ばれ、必ずしも完備でない内積空間は(内積の導くノルムに関する完備化がヒルベルト空間となるから)前ヒルベルト空間 (pre-Hilbert space) と呼ばれる。複素数体上の内積空間はしばしばユニタリ空間 (unitary spaces) とも呼ばれる。
  • Em matemática, chamamos de produto interno uma função de dois vetores que satisfaz determinados axiomas. O produto escalar, comumente usado na geometria euclidiana, é um caso especial de produto interno.Obs: em física, em particular em aplicações da teoria da Relatividade, o produto interno tem propriedades um pouco diferentes. Para maiores detalhes, ver Espaço de Minkowski.
  • Przestrzeń unitarna (prehilbertowska) – w matematyce, przestrzeń liniowa wyposażona dodatkowo w iloczyn skalarny będący uogólnieniem standardowego iloczynu skalarnego. Przestrzenie unitarne można traktować jako naturalne odpowiedniki przestrzeni euklidesowych, w których możliwe jest zdefiniowanie (bądź uogólnienie) takich pojęć jak kąt, długość wektora (dokładniej norma elementu przestrzeni unitarnej) czy wreszcie ortogonalności elementów. Przestrzenie unitarne, zupełne ze względu na metrykę generowaną przez normę (zależną od iloczynu skalarnego), nazywane są przestrzeniami Hilberta i studiowane są w analizie funkcjonalnej. W związku z tym przestrzenie unitarne nazywane są czasem prehilbertowskimi.
  • In de functionaalanalyse, een deelgebied van de wiskunde, is een inwendig-productruimte een vectorruimte met de additionele structuur die het inwendig product wordt genoemd. Deze additionele structuur associeert elk paar van vectoren in de ruimte met een scalaire grootheid die bekendstaat als het inwendig product van de vectoren. Inwendige producten maken het mogelijk om intuïtieve meetkundige begrippen, zoals de lengte van een vector of de hoek tussen twee vectoren, op een meer formele wijze in te voeren. Zij bieden ook de middelen voor het definiëren van orthogonaliteit tussen vectoren (het inwendig product is dan gelijk aan nul). Inwendig-productruimten veralgemenen Euclidische ruimten (waarin het inwendig product gelijk is aan het gebruikelijke inwendig product, ook bekend als het scalaire product) naar vectorruimten van willekeurige (eventueel oneindige) dimensie, en zij worden bestudeerd in de functionaalanalyse.
  • In der linearen Algebra und in der Funktionalanalysis wird ein reeller oder komplexer Vektorraum, auf dem ein inneres Produkt (Skalarprodukt) definiert ist, als Prähilbertraum (auch prähilbertscher Raum) oder Skalarproduktraum (auch Vektorraum mit innerem Produkt, vereinzelt auch Innenproduktraum) bezeichnet. Man unterscheidet dabei zwischen euklidischen (Vektor-)Räumen im reellen und unitären (Vektor-)Räumen im komplexen Fall. Die endlichdimensionalen (n-dimensionalen) euklidischen Vektorräume sind Modelle für den n-dimensionalen euklidischen Raum. Die Nomenklatur ist aber nicht einheitlich. Manche Autoren schließen beim unitären Vektorraum den reellen Fall (der ja als Einschränkung aufgefasst werden kann) mit ein, und manchmal ist es auch umgekehrt, das heißt auch die komplexen Vektorräume heißen euklidisch.Die Bedeutung der Prähilberträume liegt darin, dass das Skalarprodukt in Analogie zur analytischen Geometrie die Einführung der Begriffe Länge (über die induzierte Norm) und Winkel gestattet. Jeder Prähilbertraum ist daher ein normierter Vektorraum. Durch die Länge (Norm) wird auch ein Abstand (Metrik) definiert. Ist der Raum bezüglich dieser Metrik vollständig, so ist er ein Hilbertraum. Hilberträume sind die direkteste Verallgemeinerung der euklidischen Geometrie auf unendlichdimensionale Räume.
  • 내적공간(內積空間, inner product space)은 수학에서 두 벡터를 곱해 스칼라를 얻는 내적이라는 이항연산이 주어진 벡터공간을 말한다. 벡터공간에 내적이 주어지면 이를 이용해 길이나 각도 등의 개념을 정의할 수 있으며, 이는 유클리드 공간의 스칼라 곱을 일반화한 것으로 볼 수 있다(주의: 책에 따라 내적과 스칼라 곱을 동의어로 여기기도 한다.). 내적공간의 개념은 함수해석학에서 중요하게 다루어진다.
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  • Espace préhilbertien réel
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  • Espace préhilbertien réel
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  • En mathématiques, un espace préhilbertien est défini comme un espace vectoriel réel ou complexe muni d'un produit scalaire. Cette notion généralise celles d'espace euclidien ou hermitien dans le cas d'une dimension quelconque, tout en conservant certaines bonnes propriétés géométriques des espaces de dimension finie grâce aux propriétés du produit scalaire, mais en perdant un atout de taille : la complétude.
  • In matematica, lo spazio prehilbertiano o spazio hermitiano è uno spazio vettoriale reale o complesso nel quale è definito un prodotto interno.Si tratta di una struttura algebrica che fa da collegamento tra lo spazio vettoriale semplice e lo spazio di Hilbert, che è uno spazio prehilbertiano completo, tale cioè che la metrica indotta dal prodotto scalare sia completa.
  • 線型代数学における計量ベクトル空間(けいりょうベクトルくうかん、英: metric vector space)は、内積と呼ばれる付加的な構造を備えたベクトル空間であり、内積空間(ないせきくうかん、英: inner product space)とも呼ばれる。この付加構造は、空間内の任意の二つのベクトルに対してベクトルの内積と呼ばれるスカラーを対応付ける。内積によって、ベクトルの長さや二つのベクトルの間の角度などの直観的な幾何学的概念に対する厳密な導入が可能になる。また内積が零になることを以ってベクトルの間の直交性に意味を持たせることもできる。内積空間は、内積として点乗積(スカラー積)を備えたユークリッド空間を任意の次元(無限次元でもよい)のベクトル空間に対して一般化するもので、特に無限次元のものは函数解析学において研究される。内積はそれに付随するノルムを自然に導き、内積空間はノルム空間の構造を持つ。内積に付随するノルムの定める距離に関して完備となる空間はヒルベルト空間と呼ばれ、必ずしも完備でない内積空間は(内積の導くノルムに関する完備化がヒルベルト空間となるから)前ヒルベルト空間 (pre-Hilbert space) と呼ばれる。複素数体上の内積空間はしばしばユニタリ空間 (unitary spaces) とも呼ばれる。
  • Em matemática, chamamos de produto interno uma função de dois vetores que satisfaz determinados axiomas. O produto escalar, comumente usado na geometria euclidiana, é um caso especial de produto interno.Obs: em física, em particular em aplicações da teoria da Relatividade, o produto interno tem propriedades um pouco diferentes. Para maiores detalhes, ver Espaço de Minkowski.
  • 내적공간(內積空間, inner product space)은 수학에서 두 벡터를 곱해 스칼라를 얻는 내적이라는 이항연산이 주어진 벡터공간을 말한다. 벡터공간에 내적이 주어지면 이를 이용해 길이나 각도 등의 개념을 정의할 수 있으며, 이는 유클리드 공간의 스칼라 곱을 일반화한 것으로 볼 수 있다(주의: 책에 따라 내적과 스칼라 곱을 동의어로 여기기도 한다.). 내적공간의 개념은 함수해석학에서 중요하게 다루어진다.
  • Przestrzeń unitarna (prehilbertowska) – w matematyce, przestrzeń liniowa wyposażona dodatkowo w iloczyn skalarny będący uogólnieniem standardowego iloczynu skalarnego. Przestrzenie unitarne można traktować jako naturalne odpowiedniki przestrzeni euklidesowych, w których możliwe jest zdefiniowanie (bądź uogólnienie) takich pojęć jak kąt, długość wektora (dokładniej norma elementu przestrzeni unitarnej) czy wreszcie ortogonalności elementów.
  • In der linearen Algebra und in der Funktionalanalysis wird ein reeller oder komplexer Vektorraum, auf dem ein inneres Produkt (Skalarprodukt) definiert ist, als Prähilbertraum (auch prähilbertscher Raum) oder Skalarproduktraum (auch Vektorraum mit innerem Produkt, vereinzelt auch Innenproduktraum) bezeichnet. Man unterscheidet dabei zwischen euklidischen (Vektor-)Räumen im reellen und unitären (Vektor-)Räumen im komplexen Fall.
  • In linear algebra, an inner product space is a vector space with an additional structure called an inner product. This additional structure associates each pair of vectors in the space with a scalar quantity known as the inner product of the vectors. Inner products allow the rigorous introduction of intuitive geometrical notions such as the length of a vector or the angle between two vectors. They also provide the means of defining orthogonality between vectors (zero inner product).
  • In de functionaalanalyse, een deelgebied van de wiskunde, is een inwendig-productruimte een vectorruimte met de additionele structuur die het inwendig product wordt genoemd. Deze additionele structuur associeert elk paar van vectoren in de ruimte met een scalaire grootheid die bekendstaat als het inwendig product van de vectoren.
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  • Espace préhilbertien
  • Espacio prehilbertiano
  • Espai prehilbertià
  • Inner product space
  • Inwendig-productruimte
  • Produto interno
  • Przestrzeń unitarna
  • Prähilbertraum
  • Spazio prehilbertiano
  • Unitární prostor
  • Унитарное пространство
  • 計量ベクトル空間
  • 내적공간
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