En mathématiques, un espace métrique M est dit complet si toute suite de Cauchy de M a une limite dans M (c’est-à-dire qu'elle converge dans M). La propriété de complétude dépend de la distance. Il est donc important de toujours préciser la distance que l'on prend quand on parle d'espace complet.Intuitivement, un espace est complet s'il « n'a pas de trou », s'il « n'a aucun point manquant ».

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  • En mathématiques, un espace métrique M est dit complet si toute suite de Cauchy de M a une limite dans M (c’est-à-dire qu'elle converge dans M). La propriété de complétude dépend de la distance. Il est donc important de toujours préciser la distance que l'on prend quand on parle d'espace complet.Intuitivement, un espace est complet s'il « n'a pas de trou », s'il « n'a aucun point manquant ». Par exemple, les nombres rationnels ne forment pas un espace complet, puisque √2 n'y figure pas alors qu'il existe une suite de Cauchy de nombres rationnels ayant cette limite. Il est toujours possible de « remplir les trous » amenant ainsi à la complétion d'un espace donné.La complétude peut être définie plus généralement pour les espaces uniformes, comme les groupes topologiques.
  • Een metrische ruimte heet volledig als elke Cauchyrij convergeert, dat wil zeggen een limiet heeft binnen de metrische ruimte.
  • Metrický prostor je označován jako úplný, pokud v něm každá posloupnost, která je cauchyovská v příslušné metrice, konverguje (v příslušné metrice).Zatímco posloupnost reálných čísel je konvergentní tehdy a jen tehdy, když je cauchyovská, v obecném metrickém prostoru platí jen jeden směr ("jen tehdy"); "úplné" jsou tedy právě ty metrické prostory, kde tato ekvivalence platí.
  • In mathematical analysis, a metric space M is called complete (or a Cauchy space) if every Cauchy sequence of points in M has a limit that is also in M or, alternatively, if every Cauchy sequence in M converges in M. Intuitively, a space is complete if there are no "points missing" from it (inside or at the boundary). For instance, the set of rational numbers is not complete, because e.g. √2 is "missing" from it, even though one can construct a Cauchy sequence of rational numbers that converges to it. (See the examples below.) It is always possible to "fill all the holes", leading to the completion of a given space, as explained below.
  • Przestrzeń zupełna – przestrzeń metryczna, dla której każdy określony na niej ciąg Cauchy'ego ma granicę należącą do tej przestrzeni.
  • 完備距離空間(かんびきょりくうかん)は数学用語の一つ。位相空間論あるいは解析学において、距離空間 M が完備(かんび、英: complete)またはコーシー空間(コーシーくうかん、英: Cauchy space)であるとは、M 内の任意のコーシー点列が M に属する極限を持つ(任意のコーシー点列が収斂する)ことを言う。直観的に言えば、空間が完備であるというのは(その内側や境界において)点を追いかけると「空間からはみ出してしまう」ということが起きないということである。例えば、有理数全体の成す集合 Q は完備でないが、これは例えば 2 の正の平方根は、それに収斂する有理コーシー数列が構成できるにも拘らず、有理数ではないので Q からははみ出してしまう(後述)。「こういった抜けを全て埋めてしまう」という考えは後述するように、空間の完備化 (completion) として常に可能である。
  • In matematica, uno spazio metrico completo è uno spazio metrico in cui tutte le successioni di Cauchy sono convergenti ad un elemento dello spazio. Si tratta di un importante caso particolare di spazio uniforme completo.Uno spazio metrico non completo è sempre contenuto in uno spazio completo più grande, che può essere costruito a partire dal primo tramite un'operazione di completamento. Ad esempio, l'insieme dei numeri razionali è contenuto nell'insieme dei numeri reali, che si può ottenere dai numeri razionali grazie ad un'operazione di completamento.
  • Um espaço métrico é completo quando todas as sucessões de Cauchy convergem para um limite que pertence ao espaço.
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  • Soit une suite de Cauchy dans ℝ. Elle est donc bornée, si bien qu'on peut en extraire une sous-suite convergente. On conclut en utilisant que toute suite de Cauchy admettant une sous-suite convergente est elle-même convergente.
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  • 3540344977 (xsd:double)
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  • Nicolas Bourbaki
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  • Éléments de mathématique
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  • Springer Verlag
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  • N.
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  • Espaces vectoriels topologiques
  • Démonstration de la complétude de ℝ
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  • En mathématiques, un espace métrique M est dit complet si toute suite de Cauchy de M a une limite dans M (c’est-à-dire qu'elle converge dans M). La propriété de complétude dépend de la distance. Il est donc important de toujours préciser la distance que l'on prend quand on parle d'espace complet.Intuitivement, un espace est complet s'il « n'a pas de trou », s'il « n'a aucun point manquant ».
  • Een metrische ruimte heet volledig als elke Cauchyrij convergeert, dat wil zeggen een limiet heeft binnen de metrische ruimte.
  • Metrický prostor je označován jako úplný, pokud v něm každá posloupnost, která je cauchyovská v příslušné metrice, konverguje (v příslušné metrice).Zatímco posloupnost reálných čísel je konvergentní tehdy a jen tehdy, když je cauchyovská, v obecném metrickém prostoru platí jen jeden směr ("jen tehdy"); "úplné" jsou tedy právě ty metrické prostory, kde tato ekvivalence platí.
  • Przestrzeń zupełna – przestrzeń metryczna, dla której każdy określony na niej ciąg Cauchy'ego ma granicę należącą do tej przestrzeni.
  • 完備距離空間(かんびきょりくうかん)は数学用語の一つ。位相空間論あるいは解析学において、距離空間 M が完備(かんび、英: complete)またはコーシー空間(コーシーくうかん、英: Cauchy space)であるとは、M 内の任意のコーシー点列が M に属する極限を持つ(任意のコーシー点列が収斂する)ことを言う。直観的に言えば、空間が完備であるというのは(その内側や境界において)点を追いかけると「空間からはみ出してしまう」ということが起きないということである。例えば、有理数全体の成す集合 Q は完備でないが、これは例えば 2 の正の平方根は、それに収斂する有理コーシー数列が構成できるにも拘らず、有理数ではないので Q からははみ出してしまう(後述)。「こういった抜けを全て埋めてしまう」という考えは後述するように、空間の完備化 (completion) として常に可能である。
  • Um espaço métrico é completo quando todas as sucessões de Cauchy convergem para um limite que pertence ao espaço.
  • In matematica, uno spazio metrico completo è uno spazio metrico in cui tutte le successioni di Cauchy sono convergenti ad un elemento dello spazio. Si tratta di un importante caso particolare di spazio uniforme completo.Uno spazio metrico non completo è sempre contenuto in uno spazio completo più grande, che può essere costruito a partire dal primo tramite un'operazione di completamento.
  • In mathematical analysis, a metric space M is called complete (or a Cauchy space) if every Cauchy sequence of points in M has a limit that is also in M or, alternatively, if every Cauchy sequence in M converges in M. Intuitively, a space is complete if there are no "points missing" from it (inside or at the boundary). For instance, the set of rational numbers is not complete, because e.g.
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  • Espace complet
  • Complete metric space
  • Espacio completo
  • Espai complet
  • Espaço completo
  • Przestrzeń zupełna
  • Spazio metrico completo
  • Volledig (topologie)
  • Vollständiger Raum
  • Полное метрическое пространство
  • Úplný metrický prostor
  • 完備距離空間
  • 완비 거리공간
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