En mathématiques, un entier quadratique est un nombre complexe, racine d'un polynôme unitaire du second degré à coefficients entiers. La notion de nombre algébrique de degré inférieur ou égal à 2 est plus générale. Elle correspond encore à un nombre complexe, racine d'un polynôme du second degré à coefficients rationnels.Ces nombres particuliers disposent de propriétés algébriques.

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  • En mathématiques, un entier quadratique est un nombre complexe, racine d'un polynôme unitaire du second degré à coefficients entiers. La notion de nombre algébrique de degré inférieur ou égal à 2 est plus générale. Elle correspond encore à un nombre complexe, racine d'un polynôme du second degré à coefficients rationnels.Ces nombres particuliers disposent de propriétés algébriques. Si α est un entier quadratique, l'ensemble ℤ[α] des nombres de la forme a + bα, où a et b désignent deux entiers relatifs, est un sous-anneau du corps ℂ des nombres complexes (c'est-à-dire qu'il est stable par addition, soustraction et multiplication et qu'il contient 1). Si β est un nombre algébrique de degré 2, l'ensemble des nombres de la forme a + bβ, où a et b désignent deux rationnels, est toujours un anneau unitaire et même un corps (tout élément non nul est inversible), appelé corps quadratique et noté ℚ(β).Un nombre quadratique, entier ou seulement algébrique, est ainsi avant tout un élément d'un ensemble, structuré par deux opérations. Cette approche est au cœur de la théorie algébrique des nombres. Au lieu d'étudier un nombre particulier, comme le nombre d'or, l'analyse de la structure d'anneau associé, ici celui des entiers du corps ℚ(√5) est plus fructueuse. Cette démarche est ancienne, dès le VIe siècle les mathématiciens indiens avaient déjà découvert une multiplication sur un ensemble de cette nature, qui permet de résoudre certains cas particuliers de l'équation de Pell-Fermat. Au XIXe siècle, Gauss préfigure la démarche moderne et fixe le vocabulaire avec l'étude des entiers portant maintenant son nom. Il découvre que cet anneau est euclidien, permettant de développer une arithmétique analogue à celle des entiers relatifs, avec sa version du théorème fondamental de l'arithmétique et ses nombres premiers.Ces structures sont parfois sujettes à des difficultés, qualifiées d'obstructions. L'une concerne les éléments inversibles qui sont parfois en nombre infini. Une deuxième obstruction existe si l'anneau n'est par exemple pas euclidien ni même principal. L'unicité de la décomposition en « facteurs premiers » ne s'applique plus et les techniques usuelles de l'arithmétique s'avèrent inopérantes. Une analyse plus profonde de la structure de l'anneau permet d'y remédier à l'aide du concept d'idéal d'un anneau.Les anneaux d'entiers quadratiques forment en général la première classe d'exemples dans laquelle on tente de faire fonctionner des théories inaccessibles dans le cas général (voir par exemple le théorème de Kronecker-Weber en théorie des corps de classes). L'étude des entiers quadratiques admet une version plus algébrique : l'étude des formes quadratiques à coefficients entiers (en), et la réduction de Gauss de ces formes quadratiques qui reflète les propriétés arithmétiques des corps quadratiques (groupe des classes d'idéaux en particulier). Il n'y a pas[réf. nécessaire] d'analogue à cette interprétation dans les corps de nombres en général.
  • In number theory, quadratic integers are a generalization of the rational integers to quadratic fields. These are algebraic integers of the degree 2. Important examples include the Gaussian integers and the Eisenstein integers. Though they have been studied for more than a hundred years, many open problems remain.
  • En teoría de números, los enteros cuadráticos son una generalización de los enteros racionales a los cuerpos cuadráticos. Entre los ejemplos importantes se incluyen los enteros gaussianos y los enteros de Eisenstein. A pasar de que han sido estudiados durante más de cien años, muchos problemas siguen todavía abiertos.
  • In de algebraïsche getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, zijn kwadratische gehele getallen een veralgemening van de rationale gehele getallen naar kwadratische velden. Belangrijke voorbeelden zijn de gehele getallen van Gauss en de gehele getallen van Eisenstein. Hoewel kwadratisch gehele getallen al meer dan honderd jaar onderzocht worden, kent dit onderzoeksgebied nog veel niet opgeloste problemen.
  • 이차 정수는 정수를 이차 수체로 확장한 것으로 대수적 정수의 차원이 2인 것이다. 가우스 정수, 아이젠슈타인 정수가 있다.
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  • En mathématiques, un entier quadratique est un nombre complexe, racine d'un polynôme unitaire du second degré à coefficients entiers. La notion de nombre algébrique de degré inférieur ou égal à 2 est plus générale. Elle correspond encore à un nombre complexe, racine d'un polynôme du second degré à coefficients rationnels.Ces nombres particuliers disposent de propriétés algébriques.
  • In number theory, quadratic integers are a generalization of the rational integers to quadratic fields. These are algebraic integers of the degree 2. Important examples include the Gaussian integers and the Eisenstein integers. Though they have been studied for more than a hundred years, many open problems remain.
  • En teoría de números, los enteros cuadráticos son una generalización de los enteros racionales a los cuerpos cuadráticos. Entre los ejemplos importantes se incluyen los enteros gaussianos y los enteros de Eisenstein. A pasar de que han sido estudiados durante más de cien años, muchos problemas siguen todavía abiertos.
  • In de algebraïsche getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, zijn kwadratische gehele getallen een veralgemening van de rationale gehele getallen naar kwadratische velden. Belangrijke voorbeelden zijn de gehele getallen van Gauss en de gehele getallen van Eisenstein. Hoewel kwadratisch gehele getallen al meer dan honderd jaar onderzocht worden, kent dit onderzoeksgebied nog veel niet opgeloste problemen.
  • 이차 정수는 정수를 이차 수체로 확장한 것으로 대수적 정수의 차원이 2인 것이다. 가우스 정수, 아이젠슈타인 정수가 있다.
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  • Entier quadratique
  • Entero cuadrático
  • Kwadratisch geheel getal
  • Quadratic integer
  • 이차 정수
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