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| dbo:abstract
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- Dans un triangle ABC, soit M un point du plan et U, V et W les projetés orthogonaux de M sur les droites (BC), (AC) et (AB). Alors les deux propositions suivantes sont équivalentes :
* M est sur le cercle circonscrit au triangle ;
* U, V et W sont alignés. Dans ce cas, la droite portant les points U, V et W s'appelle la droite de Simson (ou droite de Wallace, qui fut en fait le premier à la découvrir en 1799) associée au point M. En particulier :
* la droite de Simson associée à un sommet est la hauteur issue de ce sommet ;
* la droite de Simson du point diamétralement opposé à un sommet sur le cercle circonscrit est le côté opposé à ce sommet. (fr)
- Dans un triangle ABC, soit M un point du plan et U, V et W les projetés orthogonaux de M sur les droites (BC), (AC) et (AB). Alors les deux propositions suivantes sont équivalentes :
* M est sur le cercle circonscrit au triangle ;
* U, V et W sont alignés. Dans ce cas, la droite portant les points U, V et W s'appelle la droite de Simson (ou droite de Wallace, qui fut en fait le premier à la découvrir en 1799) associée au point M. En particulier :
* la droite de Simson associée à un sommet est la hauteur issue de ce sommet ;
* la droite de Simson du point diamétralement opposé à un sommet sur le cercle circonscrit est le côté opposé à ce sommet. (fr)
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| prop-fr:contenu
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- On se contentera ici d'une preuve par analogie à partir de la figure proposée en illustration.
thumb|alt=construction du cercle passant par MVUC|left| et sont supplémentaires
Pour montrer l'existence de la droite de Simson, il nous faut montrer que les points U, V et W sont alignés. Cela revient à montrer que les angles et sont supplémentaires, c'est-à-dire que . Nous cherchons donc à évaluer la somme suivante :
Or et sont droits, donc M, V, U et C sont cocycliques et MVUC forme un quadrilatère inscriptible.
On en déduit que soit encore :
thumb|alt=construction du cercle passant par MVAW| et sont égaux
De même et sont droits, donc M, V, A et W sont cocycliques et MVAW forme un quadrilatère inscriptible.
On en déduit que :
En remplaçant dans et par leur valeur donnée dans et on obtient :
Or, par hypothèse A, B, C et M sont cocycliques et ABCM forme un quadrilatère inscriptible. Nous avons donc :
En reportant dans on obtient :
CQFD. (fr)
- On se contentera ici d'une preuve par analogie à partir de la figure proposée en illustration.
thumb|alt=construction du cercle passant par MVUC|left| et sont supplémentaires
Pour montrer l'existence de la droite de Simson, il nous faut montrer que les points U, V et W sont alignés. Cela revient à montrer que les angles et sont supplémentaires, c'est-à-dire que . Nous cherchons donc à évaluer la somme suivante :
Or et sont droits, donc M, V, U et C sont cocycliques et MVUC forme un quadrilatère inscriptible.
On en déduit que soit encore :
thumb|alt=construction du cercle passant par MVAW| et sont égaux
De même et sont droits, donc M, V, A et W sont cocycliques et MVAW forme un quadrilatère inscriptible.
On en déduit que :
En remplaçant dans et par leur valeur donnée dans et on obtient :
Or, par hypothèse A, B, C et M sont cocycliques et ABCM forme un quadrilatère inscriptible. Nous avons donc :
En reportant dans on obtient :
CQFD. (fr)
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| prop-fr:titre
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- Démonstration de l'existence de la droite de Simson (fr)
- Démonstration de l'existence de la droite de Simson (fr)
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- Dans un triangle ABC, soit M un point du plan et U, V et W les projetés orthogonaux de M sur les droites (BC), (AC) et (AB). Alors les deux propositions suivantes sont équivalentes :
* M est sur le cercle circonscrit au triangle ;
* U, V et W sont alignés. Dans ce cas, la droite portant les points U, V et W s'appelle la droite de Simson (ou droite de Wallace, qui fut en fait le premier à la découvrir en 1799) associée au point M. En particulier : (fr)
- Dans un triangle ABC, soit M un point du plan et U, V et W les projetés orthogonaux de M sur les droites (BC), (AC) et (AB). Alors les deux propositions suivantes sont équivalentes :
* M est sur le cercle circonscrit au triangle ;
* U, V et W sont alignés. Dans ce cas, la droite portant les points U, V et W s'appelle la droite de Simson (ou droite de Wallace, qui fut en fait le premier à la découvrir en 1799) associée au point M. En particulier : (fr)
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- Droite de Simson (fr)
- Retta di Simson (it)
- Пряма Сімсона (uk)
- Прямая Симсона (ru)
- خط سيمسون (ar)
- Droite de Simson (fr)
- Retta di Simson (it)
- Пряма Сімсона (uk)
- Прямая Симсона (ru)
- خط سيمسون (ar)
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