Several proofs for Fermat's Last Theorem for specific exponents have been developed.

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  • La démonstration utilise encore une fois la méthode de descente infinie. On suppose qu'il existe d'autres solutions que celles des polynômes constants et on considère un triplet de polynômes de cette nature, et soit n0 la somme de leurs degrés. À l'aide de cette solution, on en construit une nouvelle tel que la somme des degrés n1 est strictement positive et strictement inférieure à n0. En réitérant le processus, on obtient une suite infinie et strictement décroissante d'entiers positifs. La méthode de descente infinie procure la contradiction recherchée. La lettre ζ désigne une racine primitive de l'unité, c'est-à-dire une racine telle que l'ensemble des nombres ζj, si j varie de 0 à n - 1, décrivent toutes les racines nièmes de l'unité. Le polynôme Xn - 1 possède exactement n racines distinctes qui sont les n racines de l'unité, ce qui permet de déduire les égalités : . L'équation de Fermat s'écrit encore : . Cette factorisation est possible dans tous les anneaux commutatifs unitaires intègres contenant les n racines nièmes de l'unité. Le caractère factoriel intervient maintenant dans la démonstration. On remarque que les polynômes r - ζjq sont premiers deux à deux. Deux polynômes de cette nature engendrent en effet l'espace vectoriel de base r et q. Un diviseur commun divise donc r et q et par hypothèse est constant. Chaque facteur premier de r - ζjq est un facteur premier de pn donc de p et se trouve nécessairement à la puissance n dans le polynôme r - ζjq puisqu'il n'est pas présent dans les polynômes r - ζkq si k est différent de j. On en déduit que le polynôme r - ζjq est une puissance n-ième et qu'il existe un polynôme aj tel que ajn est égal à r - ζjq. On obtient l'égalité : . On remarque que les polynômes aj sont premiers entre eux deux à deux, car les polynômes r - ζjq le sont et une analyse de leur monôme dominant montre que l'un au plus est constant. Considérons les trois polynômes a1, a2 et a3. Leur puissance n-ième est dans l'espace vectoriel engendré par r et q, de dimension deux. Il existe donc une combinaison linéaire non triviale entre eux trois. . Comme tout élément de ℂ s'exprime comme une puissance n-ième d'un élément de ℂ, il existe trois complexes α1, β1 et γ1, tel que : Ce qui montre l'existence de trois polynômes non tous constants, premiers deux à deux, de somme des degrés strictement inférieure à n0 satisfaisant l'équation initiale, offrant le cadre nécessaire à la mise en place de la méthode de descente infinie.
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  • Harold Edwards
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  • Démonstration
  • Fermat's Last Theorem: A Genetic Introduction to Algebraic Number Theory
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  • Several proofs for Fermat's Last Theorem for specific exponents have been developed.
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  • Démonstrations du dernier théorème de Fermat
  • Proof of Fermat's Last Theorem for specific exponents
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