En mathématiques et plus précisément en algèbre, un corps fini est un corps commutatif qui est par ailleurs fini. À isomorphisme près, un corps fini est entièrement déterminé par son cardinal, qui est toujours une puissance d'un nombre premier, ce nombre premier étant sa caractéristique.

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  • En mathématiques et plus précisément en algèbre, un corps fini est un corps commutatif qui est par ailleurs fini. À isomorphisme près, un corps fini est entièrement déterminé par son cardinal, qui est toujours une puissance d'un nombre premier, ce nombre premier étant sa caractéristique. Pour tout nombre premier p et tout entier non nul n, il existe un corps de cardinal pn, qui se présente comme l'unique extension de degré n du corps premier Z/pZ.Les corps finis sont utilisés en théorie algébrique des nombres, où ils apparaissent comme une structure essentielle à la géométrie arithmétique. Cette branche a permis, entre autres, de démontrer le dernier théorème de Fermat.Les corps finis ont trouvé de nouvelles applications avec le développement de l'informatique. En théorie des codes, ils permettent par exemple de déterminer des codes correcteurs efficaces. Ils interviennent également en cryptographie, dans la conception des chiffrements à clé secrète comme le standard AES, ainsi que dans celle des chiffrement à clé publique, à travers, entre autres, le problème du logarithme discret.Remarque sur la terminologie : une convention courante en français est de considérer qu'un corps n'est pas nécessairement commutatif. Dans le cas des corps finis, la convention est en fait de peu d'importance car, d'après le théorème de Wedderburn, tout corps fini est commutatif, et, dans cet article les corps seront supposés d'emblée commutatifs.Les corps finis sont (ou ont été) appelés également corps de Galois, ou plus rarement champs de Galois. Ils ont été en effet étudiés par Évariste Galois dans un article publié en 1830 qui est à l'origine de la théorie. En fait, Carl Friedrich Gauss avait déjà découvert les résultats de Galois à la fin du XVIIIe siècle mais n'en fit pas état ; ses travaux ne furent connus qu'après sa mort et n'eurent pas l'influence de ceux de Galois.Le corps fini de cardinal q (nécessairement puissance d'un nombre premier) est noté Fq (de l'anglais field qui signifie corps commutatif) ou GF(q) (Galois field).
  • En álgebra abstracta, un cuerpo finito, campo finito o campo de Galois (llamado así por Évariste Galois) es un cuerpo definido sobre un conjunto finito de elementos. Los cuerpos finitos son importantes en teoría de números, geometría algebraica, teoría de Galois, y criptografía. Todos los cuerpos finitos tienen un número de elementos q = pn, para algún número primo p y algún entero positivo n. Para cada cardinalidad q así definida hay una y sólo una manera posible de definir un campo finito, por lo que todos los campos finitos del mismo orden son isomorfos entre sí.
  • In matematica, in particolare in algebra, un campo finito (detto a volte anche campo di Galois) è un campo che contiene un numero finito di elementi. I campi finiti sono importanti in teoria dei numeri, geometria algebrica, teoria di Galois, in crittografia e in teoria dei codici.I campi finiti sono completamente classificati.
  • 有限体(ゆうげんたい、英語:finite field)とは、代数学において、有限個の元からなる体、すなわち四則演算が定義され閉じている有限集合のことである。主に計算機関連の分野においては、エヴァリスト・ガロアにちなんでガロア体あるいはガロア域(ガロアいき、Galois field)などとも呼ぶ。有限体においては、体の定義における乗法の可換性についての条件の有無は問題にはならない。実際、ウェダーバーンの小定理などと呼ばれる以下の定理が成り立つことが知られている。別な言い方をすれば、有限体において乗法の可換性は、体の定義におけるそのほかの条件から導かれるということである。
  • 추상대수학에서, 유한체(有限體, finite field)는 유한개의 원소를 가지는 체이다. 갈루아 체(영어: Galois field)라고도 한다.
  • Em matemática e, em especial, na teoria dos corpos, um corpo finito é um corpo em que o conjunto dos elementos é finito.Corpos finitos também são chamados corpos de Galois em honra ao matemático francês Évariste Galois.
  • In algebra, a finite field or Galois field (so named in honor of Évariste Galois) is a field that contains a finite number of elements, called its order (the size of the underlying set). As with any field, a finite field is a set on which the operations of commutative multiplication, addition, subtraction and division (by anything except zero) have been defined. Common, but not the only, examples of finite fields are given by the integers modulo a prime, that is, the integers mod n where n is a prime number, such as ℤ/3ℤ or ℤ/7ℤ.Finite fields only exist when the order (size) is a prime power pk (where p is a prime number and k is a positive integer). For each prime power, there is a finite field with this size, and all fields of a given order are isomorphic. The characteristic of a field of order pk is p (this means that adding p copies of any element always results in zero). ℤ/2ℤ (the integers mod 2) has characteristic 2 since 1 + 1 = 0, while ℤ/5ℤ has characteristic 5 since 0 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = etc. In a finite field of order q, the polynomial Xq − X has all the elements of the finite field as roots, and so, is the product of q different linear factors. Just considering multiplication, the non-zero elements of any finite field form a multiplicative group that is a cyclic group. Therefore, the non-zero elements can be expressed as the powers of a single element called a primitive element of the field (in general there will be several primitive elements for a given field.)A field has, by definition, a commutative multiplication operation. A more general algebraic structure that satisfies all the other axioms of a field but isn't required to have a commutative multiplication is called a division ring (or sometimes skewfield). A finite division ring is a finite field by Wedderburn's little theorem. This result shows that the finiteness condition in the definition of a finite field can have algebraic consequences.Finite fields are fundamental in a number of areas of mathematics and computer science, including number theory, algebraic geometry, Galois theory, finite geometry, cryptography and coding theory.
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  • Alexis Hocquenghem
  • Dwijendra Kumar Ray-Chaudhuri
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  • polynôme primitif
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  • Bartel Leendert van der Waerden
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  • Harald Niederreiter
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  • Référence:Cours d'algèbre
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  • Lidl&Niederreiter
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  • A History of Abstract Algebra
  • Cours d'algèbre. Primalité Divisibilité. Codes
  • Corps finis
  • Cours d'algèbre
  • Factorisation de polynômes sur les corps finis
  • Finite Fields
  • History of the Theory of Numbers
  • A History of Algebra, from Al-Khwarizmi to Emmy Noether
  • The Unpublished Section Eight: On the Way to Function Fields over a Finite Field
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  • Birkhäuser
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  • En mathématiques et plus précisément en algèbre, un corps fini est un corps commutatif qui est par ailleurs fini. À isomorphisme près, un corps fini est entièrement déterminé par son cardinal, qui est toujours une puissance d'un nombre premier, ce nombre premier étant sa caractéristique.
  • In matematica, in particolare in algebra, un campo finito (detto a volte anche campo di Galois) è un campo che contiene un numero finito di elementi. I campi finiti sono importanti in teoria dei numeri, geometria algebrica, teoria di Galois, in crittografia e in teoria dei codici.I campi finiti sono completamente classificati.
  • 有限体(ゆうげんたい、英語:finite field)とは、代数学において、有限個の元からなる体、すなわち四則演算が定義され閉じている有限集合のことである。主に計算機関連の分野においては、エヴァリスト・ガロアにちなんでガロア体あるいはガロア域(ガロアいき、Galois field)などとも呼ぶ。有限体においては、体の定義における乗法の可換性についての条件の有無は問題にはならない。実際、ウェダーバーンの小定理などと呼ばれる以下の定理が成り立つことが知られている。別な言い方をすれば、有限体において乗法の可換性は、体の定義におけるそのほかの条件から導かれるということである。
  • 추상대수학에서, 유한체(有限體, finite field)는 유한개의 원소를 가지는 체이다. 갈루아 체(영어: Galois field)라고도 한다.
  • Em matemática e, em especial, na teoria dos corpos, um corpo finito é um corpo em que o conjunto dos elementos é finito.Corpos finitos também são chamados corpos de Galois em honra ao matemático francês Évariste Galois.
  • En álgebra abstracta, un cuerpo finito, campo finito o campo de Galois (llamado así por Évariste Galois) es un cuerpo definido sobre un conjunto finito de elementos. Los cuerpos finitos son importantes en teoría de números, geometría algebraica, teoría de Galois, y criptografía. Todos los cuerpos finitos tienen un número de elementos q = pn, para algún número primo p y algún entero positivo n.
  • In algebra, a finite field or Galois field (so named in honor of Évariste Galois) is a field that contains a finite number of elements, called its order (the size of the underlying set). As with any field, a finite field is a set on which the operations of commutative multiplication, addition, subtraction and division (by anything except zero) have been defined.
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  • Corps fini
  • Campo finito
  • Ciało skończone
  • Corpo finito
  • Cos finit
  • Cuerpo finito
  • Eindig lichaam (Ned) / Eindig veld (Be)
  • Endlicher Körper
  • Finite field
  • Konečné těleso
  • Конечное поле
  • 有限体
  • 유한체
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