En mathématiques, la notion de classe généralise celle d'ensemble. Les deux termes sont parfois employés comme synonymes, mais la théorie des ensembles distingue ces deux notions. Un ensemble peut être vu comme une collection d'objets, mais aussi comme un objet mathématique, qui en particulier peut lui-même appartenir à un autre ensemble.

PropertyValue
dbpedia-owl:abstract
  • En mathématiques, la notion de classe généralise celle d'ensemble. Les deux termes sont parfois employés comme synonymes, mais la théorie des ensembles distingue ces deux notions. Un ensemble peut être vu comme une collection d'objets, mais aussi comme un objet mathématique, qui en particulier peut lui-même appartenir à un autre ensemble. Ce n'est pas forcément le cas d'une classe, qui est une collection d'objets que l'on peut définir, dont on peut donc parler, mais qui ne forme pas nécessairement un ensemble. Quand une classe n'est pas un ensemble, elle est appelée classe propre. Elle ne peut alors être élément d'une classe (ni, a fortiori, d'un ensemble).Les paradoxes de la théorie des ensembles, comme le paradoxe de Russell, montrent la nécessité d'une telle distinction. Ainsi la propriété « ne pas appartenir à soi-même » (x ∉ x) définit une classe mais pas un ensemble. L'existence d'un tel ensemble mènerait à une contradiction.À l'aube du XXe siècle, certains logiciens et mathématiciens comme Ernst Schröder, Giuseppe Peano ou Bertrand Russell emploient le terme « classe » la plupart du temps pour ce qui est appelé aujourd'hui « ensemble ». Cet usage perdure dans certains cas particuliers. Ainsi pour la notion usuelle de relation (dont le graphe est un ensemble de couples), une classe d'équivalence est un ensemble. Si on élargit aux classes propres, on ne peut plus parler d'ensemble quotient. Parfois les deux termes sont employés pour améliorer la clarté d'expression : dans certains contextes, on peut préférer parler de classe d'ensembles plutôt que d’ensemble d'ensembles sans y attacher un sens particulier.
  • En teoria de conjunts i les seves aplicacions en matemàtiques, una classe és una col·lecció de conjunts (o de vegades altres objectes matemàtics) que poden ser definits sense ambigüitats per una propietat que comparteixen tots els seus membres. La definició precisa de "classe" depèn del context fundacional. A la teoria de Zermelo-Fraenkel, la noció de classe no està formalitzada, mentre que altres teories de conjunts, com la teoria de conjunts de Von Neumann-Bernays-Gödel, axiomatitza la noció de "classe".Cada conjunt és una classe, no importa quina fundació es trigui. Una classe que no és un conjunt (informalment en Zermelo-Fraenkel) s'anomena una classe pròpia, i una classe que és un conjunt de vegades s'anomena una classe petita. Per exemple, la classe tots els nombres ordinals, així com la classe de tots els conjunts, són classe pròpies en molts sistemes formals.Fora de la teoria de conjunts, la paraula "classe" s'utilitza de vegades com a sinònim de "conjunt". Aquest ús ve dels períodes històrics en que les classes i els conjunts no es distingien com ara ho fa la terminologia teòrica de conjunts moderna.
  • Als Klasse wird heute in der Mathematik, Klassenlogik und Mengenlehre eine Zusammenfassung beliebiger Objekte bezeichnet. Eine Klasse wird definiert durch eine logische Eigenschaft, die alle Objekte der Klasse erfüllen. Vom Klassenbegriff ist der Mengenbegriff zu unterscheiden. Nicht alle Klassen sind automatisch auch Mengen, weil Mengen zusätzliche Bedingungen erfüllen müssen. Mengen sind aber stets Klassen und werden daher auch in der Praxis in Klassenschreibweise notiert.
  • 集合論及びその応用としての数学におけるクラスまたは類(るい、英: class)は、集合(または、しばしば別の数学的対象)の集まりで、それに属する全ての元が共通にもつ性質によって紛れなく定義されるものである。「クラス」の正確な定義は、議論の基礎となる文脈に依存する。例えば、ツエルメロ=フレンケル集合論 (ZF) ではクラスは厳密には存在しないが、他の集合論(たとえば、ノイマン=ベルナイス=ゲーデル集合論 (NBG))では、「クラス」の概念は公理化されている(NBG の例だと、別の量 (entity) の要素にならないような量としてクラスが定義される)。(どのような定式化を選んだとしても)「全ての集合の集まり」はクラスである。(ZF では厳密な言い方ではないが)このクラスだが集合でないようなものは真のクラス (proper class) と呼ばれ、集合となるようなクラス(つまり集合)は小さいクラス (small class) とも呼ばれる。例えば、全ての順序数からなるクラスや全ての集合からなるクラスは、多くの形式体系において真のクラスである。集合論以外の文脈では「クラス」を「集合」の同義語として使うこともある。この用法はクラスと集合が現代的な集合論の用語法に基づく区別をされていなかった時代からある。19世紀以前の多くの"クラス"に関する議論は集合のことを指していた、もしくはもっと曖昧な概念をさしていた。この意味でのクラスは「級」という訳語を当てることがある(たとえば滑らかさのクラスの C1-級など)。
  • En teoría de conjuntos, lógica de clases y sus aplicaciones en matemáticas, una clase es una familia de conjuntos o colección de conjuntos (u otros objetos matemáticos) que no necesariamente es un conjunto. El concepto de clase aparece al intentar «agrupar» todos los conjuntos (u objetos) que comparten una cierta propiedad.En la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF) se denomina de manera informal «clase» a toda propiedad expresada por una fórmula de su lenguaje, aun cuando pueda demostrarse que no existe un conjunto que contenga todos los objetos con esa propiedad, en cuyo caso se denomina una clase propia. El uso de las clases es entonces a través de notación. Sin embargo existen otras teorías, como la teoría de conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel (NBG), en las que las clases son objetos de pleno derecho y puede establecerse una distinción entre ambos tipos de «colecciones de objetos».Ejemplos de clases propias son la clase universal, la clase R de la paradoja de Russell o la clase de todos los ordinales.
  • Nella moderna teoria degli insiemi, per classe si intende una generica collezione di oggetti che possono essere univocamente identificati (per esempio, tramite una proprietà che li accomuni).Tutti gli insiemi sono classi, ma non è vero il contrario. Una classe che non sia un insieme si dice classe propria.La distinzione tra classe e insieme è necessaria per evitare i paradossi che emergono della teoria degli insiemi intuitiva (o teoria naive degli insiemi), come il paradosso di Russell. Una classe propria non può appartenere a un altro insieme o classe e non è soggetta agli assiomi di Zermelo-Fraenkel, che di fatto definiscono una teoria in cui questi oggetti non sono contemplati. Un'assiomatizzazione della teoria degli insiemi che comprenda le classi proprie è data dagli assiomi di Von Neumann-Bernays-Gödel, dove le classi sono gli oggetti fondamentali e gli insiemi vengono definiti come quelle classi che sono elementi di qualche altra classe.Diversi oggetti che ricorrono in matematica sono troppo "grandi" per essere insiemi; una teoria che comprenda le classi proprie è quindi necessaria in branche quali la teoria delle categorie o l'analisi non-standard.La parola "classe" è talvolta usata come sinonimo di "insieme", soprattutto nel termine "classe di equivalenza". Questo uso risale a un periodo storico in cui classi e insiemi non erano distinti come nella terminologia moderna. Molte discussioni sulle "classi" del XIX secolo in realtà erano riferite a quelli che con terminologia successiva saranno definiti insiemi.
  • In set theory and its applications throughout mathematics, a class is a collection of sets (or sometimes other mathematical objects) that can be unambiguously defined by a property that all its members share. The precise definition of "class" depends on foundational context. In work on Zermelo–Fraenkel set theory, the notion of class is informal, whereas other set theories, such as Von Neumann–Bernays–Gödel set theory, axiomatize the notion of "proper class", e.g., as entities that are not members of another entity.A class that is not a set (informally in Zermelo–Fraenkel) is called a proper class, and a class that is a set is sometimes called a small class. For instance, the class of all ordinal numbers, and the class of all sets, are proper classes in many formal systems.Outside set theory, the word "class" is sometimes used synonymously with "set". This usage dates from a historical period where classes and sets were not distinguished as they are in modern set-theoretic terminology. Many discussions of "classes" in the 19th century and earlier are really referring to sets, or perhaps to a more ambiguous concept.
  • 수학의 집합론 및 이를 기초로 하는 여러 분야에서, 모임(class)은 특정한 성질을 만족하는 집합(혹은 그 외의 수학적 대상)을 모은 것을 말한다. 모임 중에서는 집합인 것도 있고 집합이 아닌 것도 있는데, 전자의 예로는 자연수 집합의 모든 부분집합들의 모임이 있고, 후자의 예로는 모든 서수들의 모임이나 모든 집합들의 모임이 있다. 이와 같이 집합이 아닌 모임을 진모임(proper class)이라고 한다.범주를 비롯한 수학의 많은 대상들은 집합이 되기에는 지나치게 커서, 모임을 이용해 나타낼 수밖에 없다. 어떤 대상이 진모임임을 보이기 위해 자주 사용되는 방법으로, 그 대상에 적어도 서수 만큼이나 많은 원소를 갖고 있음을 보이는 방법이 있다.진모임은 집합이나 모임의 원소가 될 수 없으며, 집합론의 ZF 공리계의 적용 대상이 아니다. 따라서, 소박한 집합론의 여러 역설은 더이상 발생하지 않는다. 그 대신 이 역설들은 특정한 모임이 진모임이라는 증명이 된다. 예를 들어, 러셀의 역설은 자기 자신을 포함하지 않는 모든 집합들의 모임이 진모임임을 증명하며, 부랄리-포르티 역설은 모든 서수의 모임이 진모임임을 증명한다.
  • Třída (někdy také přesněji množinová třída) je matematický pojem z oboru teorie množin používaný pro označení souboru objektů, u kterých lze případ od případu určit, zda do dané třídy náleží nebo nenáleží - soubor tedy musí být dobře popsán z hlediska náležení.
  • In de verzamelingenleer en de toepassingen daarvan in de wiskunde is een klasse een collectie van verzamelingen (van soms andere wiskundige objecten) die eenduidig gedefinieerd kunnen worden door een eigenschap die alle leden van de verzameling delen. De precieze definitie van "klasse" hangt af van de context. In werk over de Zermelo-Fraenkel-verzamelingenleer, is het begrip klasse informeel, terwijl in ander theorieën, zoals de Von Neumann-Bernays-Gödel-verzamelingenleer het begrip "klasse" door axioma's wordt onderbouwd. Elke verzameling kan als klasse opgevat worden, om het even in welke context. Een klasse die geen verzameling is, wordt (informeel) een echte klasse (Engels: proper class) genoemd. Alle ordinale getallen en de klasse van alle verzamelingen zijn bijvoorbeeld in veel formele systemen echte klassen. Verschillende belangrijke concepten in de wiskunde worden beschreven in termen van klassen. Voorbeelden zijn grote categorieën en de klasse van de surreële getallen.In de Zermelo-Fraenkel-verzamelingenleer (ZF) bestaan klassen alleen in de metataal, als equivalentieklassen van logische formules. De axioma's van ZF zijn niet van toepassing op klassen. Als wij echter een ontoegankelijke kardinaal κ aannemen, vormen de verzamelingen van kleinere rang een model van ZF (een Grothendieck-universum). Haar deelverzamelingen kunnen worden gezien als "klassen". De Von Neumann-Bernays-Gödel axioma's staan een andere benadering voor; in deze theorie zijn de basisobjecten de klassen en wordt een verzameling gedefinieerd als een klasse die een element is van een andere klasse. In andere, minder gangbare verzamelingentheorieën, zoals de New Foundations of de theorie van de halfverzamelingen, is het concept van een "echte klasse" nog steeds zinvol (niet alle klassen zijn verzamelingen), maar is het criterium van "verzamelingheid" niet gesloten onder deelverzamelingen. Een verzamelingenleer met een universele verzameling heeft bijvoorbeeld "echte klassen", die deelklassen van verzamelingen zijn.De noodzaak om het begrip klasse in te voeren komt voort uit de wens om logische tegenspraak te vermijden (zie paradox van Russsel). Zoals hierboven gesteld is een klasse een collectie - hier een ander woord voor verzameling - van verzamelingen. Als het begrip verzameling toegepast zou worden in plaats van het nieuwe begrip klasse, zou bijvoorbeeld de verzameling van alle verzamelingen zichzelf kunnen bevatten, wat tot logische tegenspraken kan leiden. Om dat te vermijden is het begrip 'klasse' in de verzamelingenleer ingevoerd.
  • Klasa – wielość obiektów, która może być określona przez własność którą posiadają wszystkie jej elementy. Pojęcie klasy jest uogólnieniem pojęcia zbioru.Wiele obiektów w matematyce jest „za dużych” aby badać je przy użyciu zbiorów i muszą być opisywane przy użyciu klas. W literaturze istnieje kilka sposobów formalizacji pojęcia klasy.
  • Класс — термин, употребляемый в теории множеств для обозначения произвольных совокупностей множеств, обладающих каким-либо определенным свойством или признаком. Более строгое определение класса зависит от выбора исходной системы аксиом. В системе аксиом Цермело — Френкеля определение класса является неформальным, тогда как другие системы, например, система аксиом фон Неймана — Бернайса — Гёделя, аксиоматизируют определение «собственного класса» как некторого семейства, которое не может быть элементом других семейств.Класс, не являющийся множеством (при неформальном определении в ZFC), называется собственным классом. В частности, класс всех множеств и класс ординалов являются собственными классами.Вне теории множеств, слово «класс» иногда является синонимом слова «множество» (например, класс эквивалентности). Большинство упоминаний слова «класс» в литературе XIX века и раньше относится в действительности к множествам.
dbpedia-owl:wikiPageID
  • 129370 (xsd:integer)
dbpedia-owl:wikiPageLength
  • 15297 (xsd:integer)
dbpedia-owl:wikiPageOutDegree
  • 47 (xsd:integer)
dbpedia-owl:wikiPageRevisionID
  • 98364237 (xsd:integer)
dbpedia-owl:wikiPageWikiLink
prop-fr:wikiPageUsesTemplate
dcterms:subject
rdfs:comment
  • En mathématiques, la notion de classe généralise celle d'ensemble. Les deux termes sont parfois employés comme synonymes, mais la théorie des ensembles distingue ces deux notions. Un ensemble peut être vu comme une collection d'objets, mais aussi comme un objet mathématique, qui en particulier peut lui-même appartenir à un autre ensemble.
  • Als Klasse wird heute in der Mathematik, Klassenlogik und Mengenlehre eine Zusammenfassung beliebiger Objekte bezeichnet. Eine Klasse wird definiert durch eine logische Eigenschaft, die alle Objekte der Klasse erfüllen. Vom Klassenbegriff ist der Mengenbegriff zu unterscheiden. Nicht alle Klassen sind automatisch auch Mengen, weil Mengen zusätzliche Bedingungen erfüllen müssen. Mengen sind aber stets Klassen und werden daher auch in der Praxis in Klassenschreibweise notiert.
  • 集合論及びその応用としての数学におけるクラスまたは類(るい、英: class)は、集合(または、しばしば別の数学的対象)の集まりで、それに属する全ての元が共通にもつ性質によって紛れなく定義されるものである。「クラス」の正確な定義は、議論の基礎となる文脈に依存する。例えば、ツエルメロ=フレンケル集合論 (ZF) ではクラスは厳密には存在しないが、他の集合論(たとえば、ノイマン=ベルナイス=ゲーデル集合論 (NBG))では、「クラス」の概念は公理化されている(NBG の例だと、別の量 (entity) の要素にならないような量としてクラスが定義される)。(どのような定式化を選んだとしても)「全ての集合の集まり」はクラスである。(ZF では厳密な言い方ではないが)このクラスだが集合でないようなものは真のクラス (proper class) と呼ばれ、集合となるようなクラス(つまり集合)は小さいクラス (small class) とも呼ばれる。例えば、全ての順序数からなるクラスや全ての集合からなるクラスは、多くの形式体系において真のクラスである。集合論以外の文脈では「クラス」を「集合」の同義語として使うこともある。この用法はクラスと集合が現代的な集合論の用語法に基づく区別をされていなかった時代からある。19世紀以前の多くの"クラス"に関する議論は集合のことを指していた、もしくはもっと曖昧な概念をさしていた。この意味でのクラスは「級」という訳語を当てることがある(たとえば滑らかさのクラスの C1-級など)。
  • Třída (někdy také přesněji množinová třída) je matematický pojem z oboru teorie množin používaný pro označení souboru objektů, u kterých lze případ od případu určit, zda do dané třídy náleží nebo nenáleží - soubor tedy musí být dobře popsán z hlediska náležení.
  • Klasa – wielość obiektów, która może być określona przez własność którą posiadają wszystkie jej elementy. Pojęcie klasy jest uogólnieniem pojęcia zbioru.Wiele obiektów w matematyce jest „za dużych” aby badać je przy użyciu zbiorów i muszą być opisywane przy użyciu klas. W literaturze istnieje kilka sposobów formalizacji pojęcia klasy.
  • En teoria de conjunts i les seves aplicacions en matemàtiques, una classe és una col·lecció de conjunts (o de vegades altres objectes matemàtics) que poden ser definits sense ambigüitats per una propietat que comparteixen tots els seus membres. La definició precisa de "classe" depèn del context fundacional.
  • 수학의 집합론 및 이를 기초로 하는 여러 분야에서, 모임(class)은 특정한 성질을 만족하는 집합(혹은 그 외의 수학적 대상)을 모은 것을 말한다. 모임 중에서는 집합인 것도 있고 집합이 아닌 것도 있는데, 전자의 예로는 자연수 집합의 모든 부분집합들의 모임이 있고, 후자의 예로는 모든 서수들의 모임이나 모든 집합들의 모임이 있다. 이와 같이 집합이 아닌 모임을 진모임(proper class)이라고 한다.범주를 비롯한 수학의 많은 대상들은 집합이 되기에는 지나치게 커서, 모임을 이용해 나타낼 수밖에 없다. 어떤 대상이 진모임임을 보이기 위해 자주 사용되는 방법으로, 그 대상에 적어도 서수 만큼이나 많은 원소를 갖고 있음을 보이는 방법이 있다.진모임은 집합이나 모임의 원소가 될 수 없으며, 집합론의 ZF 공리계의 적용 대상이 아니다. 따라서, 소박한 집합론의 여러 역설은 더이상 발생하지 않는다. 그 대신 이 역설들은 특정한 모임이 진모임이라는 증명이 된다.
  • Класс — термин, употребляемый в теории множеств для обозначения произвольных совокупностей множеств, обладающих каким-либо определенным свойством или признаком. Более строгое определение класса зависит от выбора исходной системы аксиом.
  • Nella moderna teoria degli insiemi, per classe si intende una generica collezione di oggetti che possono essere univocamente identificati (per esempio, tramite una proprietà che li accomuni).Tutti gli insiemi sono classi, ma non è vero il contrario. Una classe che non sia un insieme si dice classe propria.La distinzione tra classe e insieme è necessaria per evitare i paradossi che emergono della teoria degli insiemi intuitiva (o teoria naive degli insiemi), come il paradosso di Russell.
  • In set theory and its applications throughout mathematics, a class is a collection of sets (or sometimes other mathematical objects) that can be unambiguously defined by a property that all its members share. The precise definition of "class" depends on foundational context.
  • En teoría de conjuntos, lógica de clases y sus aplicaciones en matemáticas, una clase es una familia de conjuntos o colección de conjuntos (u otros objetos matemáticos) que no necesariamente es un conjunto.
  • In de verzamelingenleer en de toepassingen daarvan in de wiskunde is een klasse een collectie van verzamelingen (van soms andere wiskundige objecten) die eenduidig gedefinieerd kunnen worden door een eigenschap die alle leden van de verzameling delen. De precieze definitie van "klasse" hangt af van de context.
rdfs:label
  • Classe (mathématiques)
  • Clase (teoría de conjuntos)
  • Class (set theory)
  • Classe (matematica)
  • Classe (matemàtiques)
  • Classe (teoria dos conjuntos)
  • Klasa (matematyka)
  • Klasse (Mengenlehre)
  • Klasse (verzamelingenleer)
  • Osztály (halmazelmélet)
  • Třída (matematika)
  • Класс (математика)
  • クラス (集合論)
  • 모임 (집합론)
owl:sameAs
http://www.w3.org/ns/prov#wasDerivedFrom
foaf:isPrimaryTopicOf
is dbpedia-owl:wikiPageDisambiguates of
is dbpedia-owl:wikiPageRedirects of
is dbpedia-owl:wikiPageWikiLink of
is foaf:primaryTopic of