En mathématiques, et plus précisément en analyse fonctionnelle, le calcul des variations (ou calcul variationnel) est un ensemble de méthodes permettant de minimiser une fonctionnelle. Celle-ci, qui est à valeurs réelles, dépend d'une fonction qui est l'inconnue du problème. Il s'agit donc d'un problème de minimisation dans un espace fonctionnel, de dimension infinie.

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  • En mathématiques, et plus précisément en analyse fonctionnelle, le calcul des variations (ou calcul variationnel) est un ensemble de méthodes permettant de minimiser une fonctionnelle. Celle-ci, qui est à valeurs réelles, dépend d'une fonction qui est l'inconnue du problème. Il s'agit donc d'un problème de minimisation dans un espace fonctionnel, de dimension infinie. Le calcul des variations s'est développé depuis le milieu du dix-huitième siècle jusqu'aujourd'hui ; son dernier avatar est la théorie de la commande optimale, datant de la fin des années 1950. Le calcul des variations a des applications dans de nombreux domaines : L'inconnue étant une courbe paramétrée, on recherche une courbe de longueur minimale (ou extrémale), autrement dit une géodésique ; c'est une question fondamentale en géométrie différentielle. L'inconnue étant une surface, on recherche, pour un périmètre donné, la surface d'aire maximale (problème d'isométrie). En physique, le principe de moindre action affirme que les mouvements d'un système matériel se produisent de manière, sinon à minimiser l'action, du moins à rendre celle-ci stationnaire. Ces mouvements peuvent donc être déterminés en minimisant ou en rendant stationnaire cette fonctionnelle, ce qui fait du calcul des variations un outil fondamental pour les physiciens (formulation variationnelle des équations de la physique). Une condition nécessaire d'extremum (ou plus généralement de stationnarité) de la fonctionnelle est l'équation d'Euler-Lagrange. Or il arrive que le but qu'on se propose soit précisément la résolution d'une équation différentielle qu'on montre (en résolvant le « problème inverse du calcul des variations ») être l'équation d'Euler-Lagrange d'un problème variationnel ; la résolution de celui-ci (effectuée, par exemple, en passant au formalisme hamiltonien) fournit la solution de celle-là.Les principaux résultats du calcul des variations « classique », qui fait l'objet de cet article sont : L'équation d'Euler-Lagrange (condition nécessaire du premier ordre) ; Les conditions de transversalité (dans le cas de problèmes à extrémités variables) ; Les conditions du second ordre de minimum faible de Legendre et de Jacobi ; Les conditions du second ordre de minimum fort de Weierstrass ; La relation entre formalisme lagrangien et le formalisme hamiltonien (transformation de Legendre) ; L'équation de Hamilton-Jacobi et le théorème de Jacobi ; Enfin, pour ses applications à la Physique, le théorème de Noether est fondamental.
  • El cálculo de variaciones es un problema matemático consistente en buscar máximos y mínimos (o más generalmente extremos relativos) de funcionales continuos definidos sobre algún espacio funcional. Constituyen una generalización del cálculo elemental de máximos y mínimos de funciones reales de una variable
  • 변분법이란, 미적분학의 일종으로, 일반 미적분학과는 달리 범함수를 다룬다. 이런 미적분학은 알려지지 않은 함수와 이 함수의 도함수를 다루는데, 주로, 어떠한 값을 최대화 하거나, 최소화 하는 함수 모양이 어떻게 되는가를 다룬다.
  • 変分法 (へんぶんほう、Variational method, Calculus of variations)は、関数を取り値を返す関数である汎関数(functional)の微分に関する手法である。解析力学における重要な方程式は最小作用の原理を元に変分法を用いて導出される。
  • Calculus of variations is a field of mathematical analysis that deals with maximizing or minimizing functionals, which are mappings from a set of functions to the real numbers. Functionals are often expressed as definite integrals involving functions and their derivatives. The interest is in extremal functions that make the functional attain a maximum or minimum value – or stationary functions – those where the rate of change of the functional is zero.A simple example of such a problem is to find the curve of shortest length connecting two points. If there are no constraints, the solution is obviously a straight line between the points. However, if the curve is constrained to lie on a surface in space, then the solution is less obvious, and possibly many solutions may exist. Such solutions are known as geodesics. A related problem is posed by Fermat's principle: light follows the path of shortest optical length connecting two points, where the optical length depends upon the material of the medium. One corresponding concept in mechanics is the principle of least action.Many important problems involve functions of several variables. Solutions of boundary value problems for the Laplace equation satisfy the Dirichlet principle. Plateau's problem requires finding a surface of minimal area that spans a given contour in space: a solution can often be found by dipping a frame in a solution of soap suds. Although such experiments are relatively easy to perform, their mathematical interpretation is far from simple: there may be more than one locally minimizing surface, and they may have non-trivial topology.
  • Rachunek wariacyjny - dziedzina analizy matematycznej zajmująca się szukaniem ekstremów funkcjonałów określonych na przestrzeniach funkcyjnych.Funkcjonały są to odwzorowania z przestrzeni wektorowej w liczby rzeczywiste. Rachunek wariacyjny zajmuje się więc szukaniem funkcji, dla których dany funkcjonał przyjmuje wartości ekstremalne. Najczęściej funkcjonał dany jest całką oznaczoną funkcji.
  • El càlcul de variacions és un problema matemàtic consistent a buscar màxims i mínims (o més generalment extrems relatius) de funcionals continus definits sobre algun espai funcional.Constitueixen una generalització del càlcul elemental de màxims i mínims de funcions reals d'una variable.
  • Variační počet je odvětvím matematické analýzy, které se zabývá maximalizací a minimalizací funkcionálů, což jsou zobrazení z množiny funkcí do množiny reálných čísel. Funkcionály se často vyjadřují jako určité integrály obsahující funkce a jejich derivace. Pozornost je zaměřena na extrémní funkce, pro které funkcionál dosahuje maximální nebo minimální hodnoty, a na stacionární funkce, kde je rychlost změny funkcionálu nulová.Jednoduchým příkladem takového problému je hledání křivky nejkratší délky propojující dva body. V jednoduchém případě je zřejmým řešením úsečka spojující oba body. Pokud ale vyžadujeme, aby křivka ležela v určitém povrchu v prostoru, pak řešení je méně zjevné a může jich existovat i více. Taková řešení jsou známa jako geodetiky. Příbuzný problém plyne z Fermatova principu: světlo se mezi dvěma body šíří po dráze s nejkratší optickou délkou, přičemž optická vzdálenost závisí na vlastnostech prostředí. V mechanice je podobným konceptem princip nejmenší akce.Mnoho důležitých problémů vyžaduje studium funkcí několika proměnných. Řešení okrajových úloh pro Laplaceovu rovnici musí vyhovovat Dirichletovu principu. Plateauův problém je hledání minimálního povrchu, který pokrývá danou prostorovou křivku; řešení lze snadno nalézt ponořením rámečku, který má tvar příslušné křivky, do mýdlového roztoku. Matematická interpretace však není jednoduchá: může se jednat o více než jednu lokální minimalizaci povrchu a výsledek může mít netriviální topologii.V tomto článku byl použit překlad textu z článku Calculus of variations na anglické Wikipedii.
  • Вариацио́нное исчисле́ние — это раздел функционального анализа, в котором изучаются вариации функционалов. Самая типичная задача вариационного исчисления состоит в том, чтобы найти функцию, на которой заданный функционал достигает экстремального значения.Методы вариационного исчисления широко применяются в различных областях математики. Например, в дифференциальной геометрии с их помощью ищут геодезические линии и минимальные поверхности. В физике вариационный метод — одно из мощнейших орудий получения уравнений движения (см. например Принцип наименьшего действия), как для дискретных, так и для распределённых систем, в том числе и для физических полей. Методы вариационного исчисления применимы и в статике (см. Вариационные принципы).
  • Il calcolo delle variazioni è un campo dell'analisi matematica che si occupa della ricerca dei punti estremali (massimi e minimi) dei cosiddetti funzionali, ovvero funzioni il cui dominio è a sua volta un insieme di funzioni, e delle loro proprietà. Tali funzionali possono per esempio essere formulati come integrali che coinvolgono una funzione incognita e le sue derivate. L'interesse è per le funzioni estremali: quelle cioè che rendono massimo o minimo il valore del funzionale. Alcuni problemi classici sulle curve erano posti in questa forma: un esempio è la curva brachistocrona, il percorso, da un punto A ad un punto B non allineati verticalmente, lungo il quale una particella sottoposta alla gravità scenderebbe nel minor tempo. Si deve minimizzare quindi la funzione che rappresenta il tempo fra tutte le curve da A a B.Il teorema chiave del calcolo delle variazioni classico è l'equazione di Eulero-Lagrange. Questa corrisponde a una condizione di stazionarietà per il funzionale. Come nel caso della ricerca dei massimi e dei minimi di una equazione, l'analisi delle piccole variazioni attorno a una presunta soluzione porta a una condizione del primo ordine. Non è possibile dire direttamente se è stato trovato un massimo, un minimo, o nessuno dei due.Attualmente il Calcolo delle variazioni procede utilizzando i metodi diretti, ovvero cercando di mostrare direttamente l'esistenza di minimi per funzionali di tipo integrale attraverso l'applicazione di una generalizzazione del classico Teorema di Weierstrass.I metodi variazionali sono importanti in fisica teorica: nella meccanica lagrangiana e nell'applicazione del principio di minima azione alla fisica quantistica. I metodi variazionali forniscono la base matematica per il metodo degli elementi finiti, i quali sono uno strumento molto potente per la risoluzione dei problemi al contorno. Sono anche molto usati per lo studio degli equilibri statici nella scienza dei materiali, in matematica pura, ad esempio nell'uso del principio di Dirichlet per le funzioni armoniche da parte di Bernhard Riemann ed in economia politica, per la soluzione di problemi di ottimizzazione intertemporale.Gli stessi concetti possono apparire in altra forma, ad esempio come tecniche per gli spazi di Hilbert, come teoria di Morse, o geometria simplettica. Il termine variazionale è usato in tutti i casi di funzionali estremali. Lo studio delle geodetiche nella geometria differenziale è un campo con un contenuto ovviamente variazionale. Molto lavoro è stato svolto sul problema di superficie minima (problema della bolla di sapone), noto anche come problema di Plateau.
  • Вариационно смятане или вариационен анализ е дял от математиката изучаващ функционалите и методите за намиране на техни екстремуми (локални и глобални). Функционал е изображение между множество от функции и множество от числа. Типичен пример за функционал е определения интеграл. Вариационното смятане намира широко приложение - от чисто практични дисциплини, като оптиката - до по нестандартни, като топологията.
  • Variatierekening is een onderdeel van de functionaalanalyse, dat is het gebied van de wiskunde dat zich bezighoudt met 'functies van functies', waarin gezocht wordt naar functies waarvoor de betrokken functionaal extreem is, dus maximaal of minimaal, of waarvoor de functionaal een zadelpunt heeft. In het algemeen wordt dus gezocht naar stationaire "punten" van de functionaal. De variatierekening is in de 18e eeuw ontwikkeld door Euler en Lagrange.In veel gevallen wordt de algemene oplossing gevonden gegeven door de Euler-Lagrange-vergelijking, een partiële differentiaalvergelijking.
  • O cálculo de variações é um problema matemático que consiste em buscar máximos e mínimos (ou, mais geralmente, extremos relativos) de funções contínuas definidas sobre algum espaço funcional. Constituem uma generalização do cálculo elementar de máximos e mínimos de funções reais de uma variável. Ao contrário deste, o cálculo das variações lida com os funcionais, enquanto o cálculo ordinário trata de funções. Funcionais podem, por exemplo, ser formados por integrais envolvendo uma função incógnita e suas derivadas. O interesse está em funções extremas - aquelas que fazem o funcional atingir um valor máximo ou mínimo - ou de funções fixas - aquelas onde a taxa de variação do funcional é precisamente zero.Talvez o exemplo mais simples seja o de encontrar a curva com o menor comprimento possível ligando dois pontos. Se não houver restrições, a solução é (obviamente) uma linha reta ligando estes pontos. No entanto, se as possibilidades para esta curva estiverem restritas a uma determinada superfície no espaço, então a solução é menos óbvia e, possivelmente, muitas soluções podem existir. Tais soluções são conhecidas como geodésicas. Um problema relacionado a este é representado pelo princípio de Fermat: a luz segue o caminho de menor comprimento óptico ligando dois pontos, onde o comprimento óptico depende do material de que é composto o meio. Um conceito correspondente em mecânica é o princípio da mínima ação.
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  • Abrégé d'histoire des mathématiques
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  • Cours de mathématiques supérieures, tome IV, première partie
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  • American Mathematical Society
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  • Society for Industrial & Applied Mathematics,U.S.
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  • En mathématiques, et plus précisément en analyse fonctionnelle, le calcul des variations (ou calcul variationnel) est un ensemble de méthodes permettant de minimiser une fonctionnelle. Celle-ci, qui est à valeurs réelles, dépend d'une fonction qui est l'inconnue du problème. Il s'agit donc d'un problème de minimisation dans un espace fonctionnel, de dimension infinie.
  • El cálculo de variaciones es un problema matemático consistente en buscar máximos y mínimos (o más generalmente extremos relativos) de funcionales continuos definidos sobre algún espacio funcional. Constituyen una generalización del cálculo elemental de máximos y mínimos de funciones reales de una variable
  • 변분법이란, 미적분학의 일종으로, 일반 미적분학과는 달리 범함수를 다룬다. 이런 미적분학은 알려지지 않은 함수와 이 함수의 도함수를 다루는데, 주로, 어떠한 값을 최대화 하거나, 최소화 하는 함수 모양이 어떻게 되는가를 다룬다.
  • 変分法 (へんぶんほう、Variational method, Calculus of variations)は、関数を取り値を返す関数である汎関数(functional)の微分に関する手法である。解析力学における重要な方程式は最小作用の原理を元に変分法を用いて導出される。
  • Rachunek wariacyjny - dziedzina analizy matematycznej zajmująca się szukaniem ekstremów funkcjonałów określonych na przestrzeniach funkcyjnych.Funkcjonały są to odwzorowania z przestrzeni wektorowej w liczby rzeczywiste. Rachunek wariacyjny zajmuje się więc szukaniem funkcji, dla których dany funkcjonał przyjmuje wartości ekstremalne. Najczęściej funkcjonał dany jest całką oznaczoną funkcji.
  • El càlcul de variacions és un problema matemàtic consistent a buscar màxims i mínims (o més generalment extrems relatius) de funcionals continus definits sobre algun espai funcional.Constitueixen una generalització del càlcul elemental de màxims i mínims de funcions reals d'una variable.
  • Вариационно смятане или вариационен анализ е дял от математиката изучаващ функционалите и методите за намиране на техни екстремуми (локални и глобални). Функционал е изображение между множество от функции и множество от числа. Типичен пример за функционал е определения интеграл. Вариационното смятане намира широко приложение - от чисто практични дисциплини, като оптиката - до по нестандартни, като топологията.
  • Variační počet je odvětvím matematické analýzy, které se zabývá maximalizací a minimalizací funkcionálů, což jsou zobrazení z množiny funkcí do množiny reálných čísel. Funkcionály se často vyjadřují jako určité integrály obsahující funkce a jejich derivace.
  • Вариацио́нное исчисле́ние — это раздел функционального анализа, в котором изучаются вариации функционалов. Самая типичная задача вариационного исчисления состоит в том, чтобы найти функцию, на которой заданный функционал достигает экстремального значения.Методы вариационного исчисления широко применяются в различных областях математики. Например, в дифференциальной геометрии с их помощью ищут геодезические линии и минимальные поверхности.
  • Variatierekening is een onderdeel van de functionaalanalyse, dat is het gebied van de wiskunde dat zich bezighoudt met 'functies van functies', waarin gezocht wordt naar functies waarvoor de betrokken functionaal extreem is, dus maximaal of minimaal, of waarvoor de functionaal een zadelpunt heeft. In het algemeen wordt dus gezocht naar stationaire "punten" van de functionaal.
  • Calculus of variations is a field of mathematical analysis that deals with maximizing or minimizing functionals, which are mappings from a set of functions to the real numbers. Functionals are often expressed as definite integrals involving functions and their derivatives.
  • O cálculo de variações é um problema matemático que consiste em buscar máximos e mínimos (ou, mais geralmente, extremos relativos) de funções contínuas definidas sobre algum espaço funcional. Constituem uma generalização do cálculo elementar de máximos e mínimos de funções reais de uma variável. Ao contrário deste, o cálculo das variações lida com os funcionais, enquanto o cálculo ordinário trata de funções.
  • Il calcolo delle variazioni è un campo dell'analisi matematica che si occupa della ricerca dei punti estremali (massimi e minimi) dei cosiddetti funzionali, ovvero funzioni il cui dominio è a sua volta un insieme di funzioni, e delle loro proprietà. Tali funzionali possono per esempio essere formulati come integrali che coinvolgono una funzione incognita e le sue derivate. L'interesse è per le funzioni estremali: quelle cioè che rendono massimo o minimo il valore del funzionale.
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