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- Le calcul des variations (ou calcul variationnel) est, en mathématiques et plus précisément en analyse fonctionnelle, un ensemble de méthodes permettant de minimiser une fonctionnelle. Celle-ci, qui est à valeurs réelles, dépend d'une fonction qui est l'inconnue du problème. Il s'agit donc d'un problème de minimisation dans un espace fonctionnel de dimension infinie. Le calcul des variations s'est développé depuis le milieu du XVIIIe siècle jusqu'aujourd'hui ; son dernier avatar est la théorie de la commande optimale, datant de la fin des années 1950. Le calcul des variations a des applications dans de nombreux domaines : 1.
* l'inconnue étant une courbe paramétrée, on recherche une courbe de longueur minimale (ou extrémale), autrement dit une géodésique ; c'est une question fondamentale en géométrie différentielle ; 2.
* l'inconnue étant une surface, on recherche, pour un périmètre donné, la surface d'aire maximale (problème d'isopérimétrie) ; 3.
* en physique, le principe de moindre action affirme que les mouvements d'un système matériel se produisent de manière, sinon à minimiser l'action, du moins à rendre celle-ci stationnaire. Ces mouvements peuvent donc être déterminés en minimisant ou en rendant stationnaire cette fonctionnelle, ce qui fait du calcul des variations un outil fondamental pour les physiciens (formulation variationnelle des équations de la physique) ; 4.
* une condition nécessaire d'extremum (ou plus généralement de stationnarité) de la fonctionnelle est l'équation d'Euler-Lagrange. Or, il arrive que le but qu'on se propose soit précisément la résolution d'une équation différentielle qu'on montre (en résolvant le « problème inverse du calcul des variations ») être l'équation d'Euler-Lagrange d'un problème variationnel ; la résolution de celui-ci (effectuée, par exemple, en passant au ) fournit la solution de celle-là. Les principaux résultats du calcul des variations « classique », qui fait l'objet de cet article sont : 1.
* l'équation d'Euler-Lagrange (condition nécessaire du premier ordre) ; 2.
* les conditions de transversalité (dans le cas de problèmes à extrémités variables) ; 3.
* les conditions du second ordre de minimum faible de Legendre et de Jacobi ; 4.
* les conditions du second ordre de minimum fort de Weierstrass ; 5.
* la relation entre formalisme lagrangien et le formalisme hamiltonien (transformation de Legendre) ; 6.
* les équations de Hamilton-Jacobi et le théorème de Jacobi ; 7.
* enfin, pour ses applications à la physique, le théorème de Noether. (fr)
- Le calcul des variations (ou calcul variationnel) est, en mathématiques et plus précisément en analyse fonctionnelle, un ensemble de méthodes permettant de minimiser une fonctionnelle. Celle-ci, qui est à valeurs réelles, dépend d'une fonction qui est l'inconnue du problème. Il s'agit donc d'un problème de minimisation dans un espace fonctionnel de dimension infinie. Le calcul des variations s'est développé depuis le milieu du XVIIIe siècle jusqu'aujourd'hui ; son dernier avatar est la théorie de la commande optimale, datant de la fin des années 1950. Le calcul des variations a des applications dans de nombreux domaines : 1.
* l'inconnue étant une courbe paramétrée, on recherche une courbe de longueur minimale (ou extrémale), autrement dit une géodésique ; c'est une question fondamentale en géométrie différentielle ; 2.
* l'inconnue étant une surface, on recherche, pour un périmètre donné, la surface d'aire maximale (problème d'isopérimétrie) ; 3.
* en physique, le principe de moindre action affirme que les mouvements d'un système matériel se produisent de manière, sinon à minimiser l'action, du moins à rendre celle-ci stationnaire. Ces mouvements peuvent donc être déterminés en minimisant ou en rendant stationnaire cette fonctionnelle, ce qui fait du calcul des variations un outil fondamental pour les physiciens (formulation variationnelle des équations de la physique) ; 4.
* une condition nécessaire d'extremum (ou plus généralement de stationnarité) de la fonctionnelle est l'équation d'Euler-Lagrange. Or, il arrive que le but qu'on se propose soit précisément la résolution d'une équation différentielle qu'on montre (en résolvant le « problème inverse du calcul des variations ») être l'équation d'Euler-Lagrange d'un problème variationnel ; la résolution de celui-ci (effectuée, par exemple, en passant au ) fournit la solution de celle-là. Les principaux résultats du calcul des variations « classique », qui fait l'objet de cet article sont : 1.
* l'équation d'Euler-Lagrange (condition nécessaire du premier ordre) ; 2.
* les conditions de transversalité (dans le cas de problèmes à extrémités variables) ; 3.
* les conditions du second ordre de minimum faible de Legendre et de Jacobi ; 4.
* les conditions du second ordre de minimum fort de Weierstrass ; 5.
* la relation entre formalisme lagrangien et le formalisme hamiltonien (transformation de Legendre) ; 6.
* les équations de Hamilton-Jacobi et le théorème de Jacobi ; 7.
* enfin, pour ses applications à la physique, le théorème de Noether. (fr)
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- William Fogg Osgood (fr)
- Christian Gustav Adolph Mayer (fr)
- Hermann Boerner (fr)
- Weierstrass–Erdmann (fr)
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- Vladimir Smirnov (fr)
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- John Milnor (fr)
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- Israel Gelfand (fr)
- Jean-Pierre Bourguignon (fr)
- Laurent Schwartz (fr)
- Lev Pontriaguine (fr)
- Sergei Fomine (fr)
- Vladimir Arnold (fr)
- Yves Colin de Verdière (fr)
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- Henri (fr)
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- John (fr)
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- Sergei (fr)
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- Inventiones mathematicae (fr)
- Research Announcement, Bull. Amer. Math. Soc. (fr)
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- Calcul différentiel (fr)
- Formes différentielles: applications élémentaires au calcul des variations et à la théorie des courbes et des surfaces (fr)
- A generalized Morse theory (fr)
- Abrégé d'histoire des mathématiques (fr)
- Analyse II (fr)
- Calcul variationnel (fr)
- Calculus of Variations (fr)
- Commande optimale (fr)
- Dynamic Programming (fr)
- Foundations of Differential Geometry (fr)
- Géométrie différentielle intrinsèque (fr)
- Lectures on the Calculus of Variations (fr)
- Mathematical Methods of Classical Mechanics (fr)
- Morse Theory (fr)
- Multiple Integrals in the Calculus of Variations (fr)
- Optimal Control (fr)
- Optimization and Nonsmooth Analysis (fr)
- Principe du maximum (fr)
- The Mathematical Theory of Optimal Processes (fr)
- A History of the Calculus of Variations from the 17th through the 19th Century (fr)
- Calculus of Variations and Partial Differential Equations of the First Order (fr)
- Un principe variationnel pour les empilements de cercles (fr)
- Éléments d'analyse (fr)
- Cours de mathématiques supérieures, tome IV, première partie (fr)
- Calcul différentiel (fr)
- Formes différentielles: applications élémentaires au calcul des variations et à la théorie des courbes et des surfaces (fr)
- A generalized Morse theory (fr)
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- Calcul variationnel (fr)
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- La commande optimale des systèmes dynamiques (fr)
- La commande optimale des systèmes dynamiques (fr)
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- Weierstrass-Erdmann condition (fr)
- Weierstrass-Erdmann condition (fr)
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- American Mathematical Society (fr)
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- Springer Verlag (fr)
- Springer-Verlag (fr)
- University of Chicago (fr)
- Mir (fr)
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- Editions de l’École Polytechnique (fr)
- Hermès-Science (fr)
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- Le calcul des variations (ou calcul variationnel) est, en mathématiques et plus précisément en analyse fonctionnelle, un ensemble de méthodes permettant de minimiser une fonctionnelle. Celle-ci, qui est à valeurs réelles, dépend d'une fonction qui est l'inconnue du problème. Il s'agit donc d'un problème de minimisation dans un espace fonctionnel de dimension infinie. Les principaux résultats du calcul des variations « classique », qui fait l'objet de cet article sont : (fr)
- Le calcul des variations (ou calcul variationnel) est, en mathématiques et plus précisément en analyse fonctionnelle, un ensemble de méthodes permettant de minimiser une fonctionnelle. Celle-ci, qui est à valeurs réelles, dépend d'une fonction qui est l'inconnue du problème. Il s'agit donc d'un problème de minimisation dans un espace fonctionnel de dimension infinie. Les principaux résultats du calcul des variations « classique », qui fait l'objet de cet article sont : (fr)
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- Calcul des variations (fr)
- Calcolo delle variazioni (it)
- Calculus of variations (en)
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- Cálculo de variaciones (es)
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- Rachunek wariacyjny (pl)
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- Вариационное исчисление (ru)
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