Une base de Hilbert (du nom de David Hilbert), ou encore base hilbertienne, est une généralisation aux espaces hilbertiens ou seulement préhilbertiens de la notion classique de base orthonormale en algèbre linéaire, pour les espaces euclidiens (ou hermitiens dans le cas complexe), lesquels sont de dimension finie.Comme dans le cas des bases habituelles, il s'agit de pouvoir décomposer n'importe quel vecteur de l'espace en somme de vecteurs colinéaires à ceux de la famille choisie.

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  • Une base de Hilbert (du nom de David Hilbert), ou encore base hilbertienne, est une généralisation aux espaces hilbertiens ou seulement préhilbertiens de la notion classique de base orthonormale en algèbre linéaire, pour les espaces euclidiens (ou hermitiens dans le cas complexe), lesquels sont de dimension finie.Comme dans le cas des bases habituelles, il s'agit de pouvoir décomposer n'importe quel vecteur de l'espace en somme de vecteurs colinéaires à ceux de la famille choisie. Cependant dans le cas d'une base de Hilbert, on ne peut pas (généralement) écrire une égalité entre le vecteur décomposé et une combinaison linéaire finie des vecteurs de la base : on doit généralement se contenter d'une série dont les termes sont colinéaires aux vecteurs de la base, et convergeant vers le vecteur à décomposer (la notion de convergence d'une série a ici un sens car un espace de Hilbert est en particulier un espace vectoriel normé).
  • 数学において、特に線型代数学において、有限次元内積空間 V の正規直交基底(せいきちょっこうきてい、英: orthonormal basis)とは、正規直交系を成すような V の基底をいう。例えば、ユークリッド空間 Rn の標準基底は、ベクトルの点乗積を内積としての正規直交基底である。また、標準基底の回転や鏡映(一般に任意の直交変換)による像もまた正規直交基底であり、なおかつ Rn の任意の正規直交基底はこの方法で得られる。一般の内積空間 V に対して、その正規直交基底は V 上の正規化された直交座標系を定めるのに利用できる。そのような座標系のもとでは内積をベクトルの点乗積と同一視することができるから、正規直交基底の存在については(一般の有限次元内積空間を調べるのではなくて)点乗積を伴う Rn の場合を調べれば十分である。従って任意の有限次元内積空間は正規直交基底を持つが、実際にこれを得るには任意の基底にグラム・シュミットの正規直交化法を用いればよい。函数解析学では、正規直交基底の概念を一般の(必ずしも有限次元でない)内積空間(前ヒルベルト空間)に対しても定義することができる。前ヒルベルト空間 H が与えられたとき、H の正規直交基底とは、H の正規直交系であって、H を位相的に生成するものをいう。即ち、H の各ベクトルが、基底に属するベクトルの無限線型結合として一意に表される。この場合の正規直交基底を、H のヒルベルト基底と呼ぶこともある。この意味での正規直交基底は、無限線型結合を用いることから、一般には厳密な意味での基底(ハメル基底)でない(よりはっきり述べれば、今の意味での基底によって張られる部分空間は全空間 H において稠密ではあるが、全空間 H に一致するとは限らない)ことに注意すべきである。
  • In mathematics, particularly linear algebra, an orthonormal basis for an inner product space V with finite dimension is a basis for V whose vectors are orthonormal. For example, the standard basis for an Euclidean space Rn is an orthonormal basis, where the relevant inner product is the dot product of vectors. The image of the standard basis under a rotation or reflection (or any orthogonal transformation) is also orthonormal, and every orthonormal basis for Rn arises in this fashion.For a general inner product space V, an orthonormal basis can be used to define normalized orthogonal coordinates on V. Under these coordinates, the inner product becomes dot product of vectors. Thus the presence of an orthonormal basis reduces the study of a finite-dimensional inner product space to the study of Rn under dot product. Every finite-dimensional inner product space has an orthonormal basis, which may be obtained from an arbitrary basis using the Gram–Schmidt process.In functional analysis, the concept of an orthonormal basis can be generalized to arbitrary (infinite-dimensional) inner product spaces (or pre-Hilbert spaces). Given a pre-Hilbert space H, an orthonormal basis for H is an orthonormal set of vectors with the property that every vector in H can be written as an infinite linear combination of the vectors in the basis. In this case, the orthonormal basis is sometimes called a Hilbert basis for H. Note that an orthonormal basis in this sense is not generally a Hamel basis, since infinite linear combinations are required. Specifically, the linear span of the basis must be dense in H, but it may not be the entire space.
  • Eine Orthonormalbasis (ONB) oder ein vollständiges Orthonormalsystem (VONS) ist in den mathematischen Gebieten lineare Algebra und Funktionalanalysis eine Menge von Vektoren aus einem Vektorraum mit Skalarprodukt (Innenproduktraum), welche auf die Länge eins normiert und zueinander orthogonal (daher Ortho-normal-basis) sind und deren lineare Hülle dicht im Vektorraum liegt. Im endlichdimensionalen Fall ist dies eine Basis des Vektorraums. Im unendlichdimensionalen Fall handelt es sich nicht um eine Vektorraumbasis im Sinn der linearen Algebra.Verzichtet man auf die Bedingung, dass die Vektoren auf die Länge eins normiert sind, so spricht man von einer Orthogonalbasis.Der Begriff der Orthonormalbasis ist sowohl im Fall endlicher Dimension als auch für unendlichdimensionale Räume, insbesondere Hilberträume, von großer Bedeutung.
  • En álgebra lineal, una base ortonormal de un espacio prehilbertiano V (es decir, un espacio vectorial con producto interno) o, en particular, de un espacio de Hilbert H, es un conjunto de elementos cuyo span es denso en el espacio, en el que los elementos son mutuamente ortogonales y normales, es decir, de magnitud unitaria. Una base ortogonal satisface las mismas condiciones, salvo la de magnitud unitaria; es muy sencillo transformar una base ortogonal en una base ortonormal mediante el producto por un escalar apropiado y de hecho, esta es la forma habitual en la que se obtiene una base ortonormal: por medio de una base ortogonal.Así, una base ortonormal es una base ortogonal, en la cual la norma de cada elemento que la compone es unitaria.Estos conceptos son importantes tanto para espacios de dimensión finita como de dimensión infinita. Para espacios de dimensión finita, la condición de span denso es la misma que la de 'span', como se usa en álgebra lineal.Una base ortonormal por lo general no es una "base", es decir, en general no es posible escribir a cada elemento del espacio como una combinación lineal de un número finito de elementos de la base ortonormal. En el caso de dimensión infinita, esta distinción cobra importancia: la definición dada requiere solo que el span de una base ortonormal sea densa en el espacio vectorial, y no que iguale al espacio entero.Una base ortonormal de un espacio vectorial V no tiene sentido si el espacio no posee un producto interno. Un Espacio de Banach no tendrá una base ortonormal a no ser que sea un espacio de Hilbert.
  • In matematica, e più precisamente in algebra lineare, una base ortonormale di uno spazio vettoriale munito di prodotto scalare definito positivo è una base composta da vettori di norma unitaria e ortogonali tra loro, ossia una base ortogonale di vettori di norma uno.Una base ortogonale è una base di vettori ortogonali rispetto al prodotto scalare definito sullo spazio vettoriale, non necessariamente definito positivo. Si tratta di una condizione meno restrittiva rispetto a quella di ortonormalizzazione, e solitamente si costruiscono basi ortonormali a partire da basi ortogonali.I concetti di base ortonormale e ortogonale generalizzano la nozione di sistema di riferimento nel piano cartesiano, e rendono possibile definire degli assi perpendicolari, e quindi un sistema di riferimento che assegna ad ogni punto delle coordinate su uno spazio vettoriale con dimensione arbitraria.
  • Uma base γ é ortonormal se, além de ser uma base ortogonal (u.v=0), todo vetor da base for um vetor unitário (ou seja, u · u = 1 para todo vetor de γ).
  • Ортогональный (ортонормированный) базис — ортогональная (ортонормированная) система элементов линейного пространства со скалярным произведением, обладающая свойством полноты.
  • En matemàtiques, i concretament en àlgebra lineal, una base ortonormal d'un espai prehilbertià V de dimensió finita és una base de V, els vectors de la qual són ortonormals. Per exemple, la base canònica d'un espai euclidià ℝn és una base ortonormal, amb el producte intern habitual per vectors. La imatge de la base canònica per una rotació o per una reflexió (o, en general, per qualsevol transformació ortogonal) també és ortonormal, i qualsevol base ortonormal per ℝn es pot construir d'aquesta forma.Per a un espai prehilbertià en general V, podem usar una base ortonormal per definir coordenades ortogonals normalitzades sobre V. En aquestes coordenades, el producte intern esdevé el producte de vectors. Així, la presència d'una base ortonormal redueix l'estudi d'un espai prehilbertià de dimensió finita a l'estudi de ℝn amb el producte habitual. Tot espai prehilbertià de dimensió finita admet una base ortonormal, que es pot obtenir a partir d'una base arbitrària mitjançant el procés d'ortogonalització de Gram–Schmidt.En anàlisi funcional, el concepte de base ortonormal es pot generalitzar a espais prehilbertians de dimensió arbitrària. Donat un espai prehilbertià H, una base ortonormal per H és un conjunt ortonormal de vectors amb la propietat que tot vector de H es pot escriure com a combinació lineal infinita dels vectors de la base. En aquest cas, de vegades es diu que la base ortonormal és una base de Hilbert de H. Notem que, en general, una base ortonormal no és una base de Hamel, perquè suposem combinacions lineals infinites. Més específicament, el subespai vectorial generat per la base ha de ser dens dins H, però no té per què ser l'espai sencer.
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  • Une base de Hilbert (du nom de David Hilbert), ou encore base hilbertienne, est une généralisation aux espaces hilbertiens ou seulement préhilbertiens de la notion classique de base orthonormale en algèbre linéaire, pour les espaces euclidiens (ou hermitiens dans le cas complexe), lesquels sont de dimension finie.Comme dans le cas des bases habituelles, il s'agit de pouvoir décomposer n'importe quel vecteur de l'espace en somme de vecteurs colinéaires à ceux de la famille choisie.
  • 数学において、特に線型代数学において、有限次元内積空間 V の正規直交基底(せいきちょっこうきてい、英: orthonormal basis)とは、正規直交系を成すような V の基底をいう。例えば、ユークリッド空間 Rn の標準基底は、ベクトルの点乗積を内積としての正規直交基底である。また、標準基底の回転や鏡映(一般に任意の直交変換)による像もまた正規直交基底であり、なおかつ Rn の任意の正規直交基底はこの方法で得られる。一般の内積空間 V に対して、その正規直交基底は V 上の正規化された直交座標系を定めるのに利用できる。そのような座標系のもとでは内積をベクトルの点乗積と同一視することができるから、正規直交基底の存在については(一般の有限次元内積空間を調べるのではなくて)点乗積を伴う Rn の場合を調べれば十分である。従って任意の有限次元内積空間は正規直交基底を持つが、実際にこれを得るには任意の基底にグラム・シュミットの正規直交化法を用いればよい。函数解析学では、正規直交基底の概念を一般の(必ずしも有限次元でない)内積空間(前ヒルベルト空間)に対しても定義することができる。前ヒルベルト空間 H が与えられたとき、H の正規直交基底とは、H の正規直交系であって、H を位相的に生成するものをいう。即ち、H の各ベクトルが、基底に属するベクトルの無限線型結合として一意に表される。この場合の正規直交基底を、H のヒルベルト基底と呼ぶこともある。この意味での正規直交基底は、無限線型結合を用いることから、一般には厳密な意味での基底(ハメル基底)でない(よりはっきり述べれば、今の意味での基底によって張られる部分空間は全空間 H において稠密ではあるが、全空間 H に一致するとは限らない)ことに注意すべきである。
  • Uma base γ é ortonormal se, além de ser uma base ortogonal (u.v=0), todo vetor da base for um vetor unitário (ou seja, u · u = 1 para todo vetor de γ).
  • Ортогональный (ортонормированный) базис — ортогональная (ортонормированная) система элементов линейного пространства со скалярным произведением, обладающая свойством полноты.
  • In matematica, e più precisamente in algebra lineare, una base ortonormale di uno spazio vettoriale munito di prodotto scalare definito positivo è una base composta da vettori di norma unitaria e ortogonali tra loro, ossia una base ortogonale di vettori di norma uno.Una base ortogonale è una base di vettori ortogonali rispetto al prodotto scalare definito sullo spazio vettoriale, non necessariamente definito positivo.
  • En álgebra lineal, una base ortonormal de un espacio prehilbertiano V (es decir, un espacio vectorial con producto interno) o, en particular, de un espacio de Hilbert H, es un conjunto de elementos cuyo span es denso en el espacio, en el que los elementos son mutuamente ortogonales y normales, es decir, de magnitud unitaria.
  • In mathematics, particularly linear algebra, an orthonormal basis for an inner product space V with finite dimension is a basis for V whose vectors are orthonormal. For example, the standard basis for an Euclidean space Rn is an orthonormal basis, where the relevant inner product is the dot product of vectors.
  • En matemàtiques, i concretament en àlgebra lineal, una base ortonormal d'un espai prehilbertià V de dimensió finita és una base de V, els vectors de la qual són ortonormals. Per exemple, la base canònica d'un espai euclidià ℝn és una base ortonormal, amb el producte intern habitual per vectors.
  • Eine Orthonormalbasis (ONB) oder ein vollständiges Orthonormalsystem (VONS) ist in den mathematischen Gebieten lineare Algebra und Funktionalanalysis eine Menge von Vektoren aus einem Vektorraum mit Skalarprodukt (Innenproduktraum), welche auf die Länge eins normiert und zueinander orthogonal (daher Ortho-normal-basis) sind und deren lineare Hülle dicht im Vektorraum liegt. Im endlichdimensionalen Fall ist dies eine Basis des Vektorraums.
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  • Base de Hilbert
  • Base ortonormal
  • Base ortonormal
  • Base ortonormal
  • Base ortonormale
  • Baza ortonormalna
  • Orthonormal basis
  • Orthonormalbasis
  • Orthonormale basis
  • Ортогональный базис
  • 正規直交基底
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