En théorie des nombres, l'approximation diophantienne, qui porte le nom de Diophante d'Alexandrie, traite de l'approximation des nombres réels par des nombres rationnels.Il est possible d'approcher tout nombre réel par un rationnel avec une précision arbitrairement grande (cette propriété s'appelle la densité de l'ensemble des rationnels dans l'ensemble des réels, muni de la distance usuelle).

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  • En théorie des nombres, l'approximation diophantienne, qui porte le nom de Diophante d'Alexandrie, traite de l'approximation des nombres réels par des nombres rationnels.Il est possible d'approcher tout nombre réel par un rationnel avec une précision arbitrairement grande (cette propriété s'appelle la densité de l'ensemble des rationnels dans l'ensemble des réels, muni de la distance usuelle). La valeur absolue de la différence entre le nombre réel à approcher et le nombre rationnel qui l'approche fournit une mesure brute de la précision de l'approximation.Une mesure plus subtile tient compte de la taille du dénominateur.L'article « Fraction continue et approximation diophantienne » donne des exemples et montre certaines applications, comme l'irrationalité de π et de e.
  • In de getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, heeft een Diophantische benadering, vernoemd naar Diophantus van Alexandrië, betrekking op de benadering van reële getallen door rationale getallen.De absolute waarde van het verschil tussen het te benaderen reëel getal en het rationale getal dat dit reële getal benadert is een ruwe indicator van hoe goed de benadering is. Aangezien de rationale getallen echter dicht zijn in de reële getallen, kan men altijd rationale getallen vinden die willekeurig dicht bij het te benaderen reëel getal liggen. Dus deze maat vertelt ons niets over de "kwaliteit" van de benadering.Een betere maat voor de kwaliteit van de benadering is door het verschil te vergelijken aan de hand van de grootte van de noemer.Bekende resultaten in de theorie van de Diophantische benaderingen zijn de benaderingsstelling van Dirichlet en de stelling van Thue-Siegel-Roth.
  • Na teoria dos números, a aproximação diofantina, (nomeada assim por causa dos trabalhos do matemático Diofante de Alexandria), é um ramo da matemática que parcela os números reais para executar a sua aproximação com os números racionais. Para que isso ocorra, é necessária uma diminuição dos números reais, e uma aproximação deles (em termos de valor absoluto) ao conceito de números racionais, para que a aproximação seja realizada. Um sutil significado considera quão fácil e é essa aproximação, pela comparação do tamanho do denominador. As matéria podem ser vistas como bem fundamentadas, com resultado dos trabalhos de Joseph Liouville na área, principalmente nos números algébricos (o lema da matéria pode ser visto na Álgebra de Liouville), mas antes desses avanços já era conhecido a teoria das frações continuadas, como se aplicando às raízes quadradas inteiras, e algumas que resultava em números irracionais.Os resultados foram aperfeiçoados por Axel Thue, e outros, levando ao fim o teorema de Roth: o expoente do teorema foi redizido de n, os graus dos números algébricos para qualquer número maior que dois (i.e. '2+ε'). Consequentemente, Schmidt generalizou este caso para uma aproximação simultânea. as provas são difíceis, e não efetivos, pela desvantagem de aplicações.
  • Die mathematische Disziplin der diophantischen Approximation, benannt nach Diophantos von Alexandria, beschäftigt sich mit der Annäherung reeller Zahlen durch rationale Zahlen. Bekannte Sätze in der Theorie der diophantischen Approximation sind der dirichletsche Approximationssatz und der Satz von Thue-Siegel-Roth.
  • Диофантовы приближения — часть теории чисел, изучающая приближения действительных чисел рациональными числами, или, при более широком понимании предмета, вопросы, связанные с решением в целых числах линейных и нелинейных неравенств или систем неравенств с действительными коэффициентами. Диофантовы приближения названы по имени древнегреческого математика Диофанта, который занимался задачей решения алгебраических уравнений в целых числах — так называемых диофантовых уравнений.Методы теории Д. п. основаны на применении непрерывных дробей, Фарея рядов и Дирихле принципа.
  • In number theory, the field of Diophantine approximation, named after Diophantus of Alexandria, deals with the approximation of real numbers by rational numbers. The first problem was to know how well a real number can be approximated by rational numbers. For this problem, a rational number a/b is a "good" approximation of a real number α if the absolute value of the difference between a/b and α may not decrease if a/b is replaced by another rational number with a smaller denominator. This problem was solved during the 18th century by means of continued fractions.Knowing the "best" approximations of a given number, the main problem of the field is to find sharp upper and lower bounds of the above difference, expressed as a function of the denominator.It appears that these bounds depend on the nature of the real numbers to be approximated: the lower bound for the approximation of a rational number by another rational number is larger than the lower bound for algebraic numbers, which is itself larger than the lower bound for all real numbers. Thus a real number that may be better approximated than the bound for algebraic numbers is certainly a transcendental number. This allowed Liouville, in 1844 to produce the first explicit transcendental number. Later, the proofs that π and e are transcendental were obtained with a similar method.Thus Diophantine approximations and transcendence theory are very close areas that share many theorems and methods. Diophantine approximations have also important applications in the study of Diophantine equations.
  • ディオファントス近似(ディオファントスきんじ、英: Diophantine approximation)とはある数(実数など)を別のより単純な構造を持つ数(有理数など)で近似する方法やその値、あるいはそれについて研究する数論の一分野である。アレクサンドリアのディオファントスに因む。ディオファントス近似は無理数や超越数の研究と深く関連している。実際、代数的数については次数や高さに依存して近似の精度に限界があることが知られている。また、不定方程式など、数学上の他の問題でもディオファントス近似に帰着することが多い。例えばペル方程式 y2=2x2-1 の整数解は2の平方根のディオファントス近似に帰着する。
  • En teoría de números, las aproximaciones diofánticas (llamadas así en honor al matemático griego Diofanto) tratan de las aproximaciones de números reales por medio de números racionales. El valor absoluto de la diferencia entre el real a aproximar y el racional que se aproxima, es una medida cruda, no dice nada acerca de «la calidad» de la aproximación, ya que es posible encontrar racionales arbitrariamente cerca (el conjunto de los números racionales es denso en el conjunto de los números reales). Una medición más sutil de la calidad de la aproximación, es comparar la distancia entre los denominadores de dos números racionales que se aproximan a un número real.
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  • En théorie des nombres, l'approximation diophantienne, qui porte le nom de Diophante d'Alexandrie, traite de l'approximation des nombres réels par des nombres rationnels.Il est possible d'approcher tout nombre réel par un rationnel avec une précision arbitrairement grande (cette propriété s'appelle la densité de l'ensemble des rationnels dans l'ensemble des réels, muni de la distance usuelle).
  • Die mathematische Disziplin der diophantischen Approximation, benannt nach Diophantos von Alexandria, beschäftigt sich mit der Annäherung reeller Zahlen durch rationale Zahlen. Bekannte Sätze in der Theorie der diophantischen Approximation sind der dirichletsche Approximationssatz und der Satz von Thue-Siegel-Roth.
  • ディオファントス近似(ディオファントスきんじ、英: Diophantine approximation)とはある数(実数など)を別のより単純な構造を持つ数(有理数など)で近似する方法やその値、あるいはそれについて研究する数論の一分野である。アレクサンドリアのディオファントスに因む。ディオファントス近似は無理数や超越数の研究と深く関連している。実際、代数的数については次数や高さに依存して近似の精度に限界があることが知られている。また、不定方程式など、数学上の他の問題でもディオファントス近似に帰着することが多い。例えばペル方程式 y2=2x2-1 の整数解は2の平方根のディオファントス近似に帰着する。
  • In number theory, the field of Diophantine approximation, named after Diophantus of Alexandria, deals with the approximation of real numbers by rational numbers. The first problem was to know how well a real number can be approximated by rational numbers. For this problem, a rational number a/b is a "good" approximation of a real number α if the absolute value of the difference between a/b and α may not decrease if a/b is replaced by another rational number with a smaller denominator.
  • Диофантовы приближения — часть теории чисел, изучающая приближения действительных чисел рациональными числами, или, при более широком понимании предмета, вопросы, связанные с решением в целых числах линейных и нелинейных неравенств или систем неравенств с действительными коэффициентами. Диофантовы приближения названы по имени древнегреческого математика Диофанта, который занимался задачей решения алгебраических уравнений в целых числах — так называемых диофантовых уравнений.Методы теории Д. п.
  • Na teoria dos números, a aproximação diofantina, (nomeada assim por causa dos trabalhos do matemático Diofante de Alexandria), é um ramo da matemática que parcela os números reais para executar a sua aproximação com os números racionais. Para que isso ocorra, é necessária uma diminuição dos números reais, e uma aproximação deles (em termos de valor absoluto) ao conceito de números racionais, para que a aproximação seja realizada.
  • En teoría de números, las aproximaciones diofánticas (llamadas así en honor al matemático griego Diofanto) tratan de las aproximaciones de números reales por medio de números racionales.
  • In de getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, heeft een Diophantische benadering, vernoemd naar Diophantus van Alexandrië, betrekking op de benadering van reële getallen door rationale getallen.De absolute waarde van het verschil tussen het te benaderen reëel getal en het rationale getal dat dit reële getal benadert is een ruwe indicator van hoe goed de benadering is.
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  • Approximation diophantienne
  • Approssimazione diofantea
  • Aproksymacja diofantyczna
  • Aproximación diofántica
  • Aproximação diofantina
  • Diophantine approximation
  • Diophantische Approximation
  • Diophantische benadering
  • Диофантово приближение
  • ディオファントス近似
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