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  • En mathématiques, l'algèbre d'un groupe fini est un cas particulier d'algèbre d'un monoïde qui s'inscrit dans le cadre de la théorie des représentations d'un groupe fini.Une algèbre d'un groupe fini est la donnée d'un groupe fini, d'un espace vectoriel de dimension l'ordre du groupe et d'une base indexée par le groupe. La multiplication des éléments de la base est obtenue par la multiplication des index à l'aide de la loi du groupe, elle est prolongée sur toute la structure par linéarité. Une telle structure est une algèbre semi-simple, elle dispose de toute une théorie dont le théorème d'Artin-Wedderburn est le pilier.Cette approche apporte un nouvel angle d'analyse pour la représentation des groupes. Elle permet d'établir par exemple, le théorème de réciprocité de Frobenius, celui d'Artin ou par exemple le théorème de Brauer sur les caractères induits (en).
  • In algebra, a group ring is a free module and at the same time a ring, constructed in a natural way from any given ring and any given group. As a free module, its ring of scalars is the given ring, and its basis is one-to-one with the given group. As a ring, its addition law is that of the free module and its multiplication extends "by linearity" the given group law on the basis. Less formally, a group ring is a generalization of a given group, by attaching to each element of the group a "weighting factor" from a given ring.If the given ring is commutative, a group ring is also referred to as a group algebra, for it is indeed an algebra over the given ring.The apparatus of group rings is especially useful in the theory of group representations.
  • 数学において、群環(ぐんかん、group ring)あるいは群多元環(ぐんたげんかん、group algebra)とは、与えられた群の元を生成元とし、適当な環を係数にもつ自由加群のことである。群環は、特に有限群の表現論において重要な役割を果たす代数的構造である。
  • Gruppen-C*-Algebren werden in den mathematischen Teilgebieten der harmonischen Analyse und Funktionalanalysis untersucht. Einer lokalkompakten Gruppe wird in natürlicher Weise eine C*-Algebra zugeordnet, so dass diese die Darstellungstheorie der Gruppe enthält.
  • 추상대수학에서, 군환(群環, group ring 그룹링[*])은 군의 원소로 생성되는 자유 가군이다. 가군과 환의 구조를 가진다.
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  • Considérons l'élément u égal à la somme, pour s décrivant G, des éléments χiδs. Les χi sont des entiers algébriques, par intégralité des caractères. D'autre part χi est, comme tout caractère, une fonction centrale sur G, ce qui démontre que u est un élément du centre de K[G]. Comme ses coordonnées dans la base canonique sont des entiers algébriques, la proposition précédente s'applique et g/di est un entier algébrique. Mais c'est aussi un nombre rationnel et donc un élément de Z, ce qui démontre que di divise l'ordre du groupe.
  • * Chacune des représentations ρi:G→GL définit un morphisme, que l'on note encore ρi, de K[G] dans L, et l'on note ρ le morphisme de K[G] dans la somme directe des L. * Pour toute forme linéaire φ sur cette somme directe, si φ est nulle sur l'image de ρ, cela donne une relation de la forme ∑λkmk=0 pour tout s de G, où mk parcourt l'ensemble des coefficients des représentations ρi. Il résulte alors du corollaire 4 de l'article « Lemme de Schur » que tous les λk sont nuls, ce qui entraîne la nullité de φ. Ceci prouve que l'image de ρ n'est incluse dans aucun hyperplan, donc que ρ est surjectif. * Si un élément f de K[G] est dans le noyau de ρ, c'est-à-dire dans le noyau de tous les ρi, alors f est aussi dans le noyau du morphisme λ:K[G]→L associé à la représentation régulière puisque celle-ci est, comme toute représentation de G, somme directe d'irréductibles. Puisque λ est nulle, l'image par λ de l'élément δ1 de K[G] l'est aussi, or cette image n'est autre que f. Ceci prouve que ρ est injectif.
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  • Démonstration directe
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  • En mathématiques, l'algèbre d'un groupe fini est un cas particulier d'algèbre d'un monoïde qui s'inscrit dans le cadre de la théorie des représentations d'un groupe fini.Une algèbre d'un groupe fini est la donnée d'un groupe fini, d'un espace vectoriel de dimension l'ordre du groupe et d'une base indexée par le groupe. La multiplication des éléments de la base est obtenue par la multiplication des index à l'aide de la loi du groupe, elle est prolongée sur toute la structure par linéarité.
  • 数学において、群環(ぐんかん、group ring)あるいは群多元環(ぐんたげんかん、group algebra)とは、与えられた群の元を生成元とし、適当な環を係数にもつ自由加群のことである。群環は、特に有限群の表現論において重要な役割を果たす代数的構造である。
  • Gruppen-C*-Algebren werden in den mathematischen Teilgebieten der harmonischen Analyse und Funktionalanalysis untersucht. Einer lokalkompakten Gruppe wird in natürlicher Weise eine C*-Algebra zugeordnet, so dass diese die Darstellungstheorie der Gruppe enthält.
  • 추상대수학에서, 군환(群環, group ring 그룹링[*])은 군의 원소로 생성되는 자유 가군이다. 가군과 환의 구조를 가진다.
  • In algebra, a group ring is a free module and at the same time a ring, constructed in a natural way from any given ring and any given group. As a free module, its ring of scalars is the given ring, and its basis is one-to-one with the given group. As a ring, its addition law is that of the free module and its multiplication extends "by linearity" the given group law on the basis.
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  • Algèbre d'un groupe fini
  • Group ring
  • Gruppen-C*-Algebra
  • Групповое кольцо
  • 群環
  • 군환
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