| prop-fr:contenu
| - Posons pour commencer pour le déterminant
:.
Nous allons montrer que ces déterminants sont tous strictement positifs ou tous strictement négatifs. Pour commencer, ils sont non nuls car le système satisfait les conditions de Haar. Supposons sont que pour et nous ayons
:. Alors par le théorème des valeurs intermédiaires appliqué à , on a l'existence de tel que , ce qui est impossible par les conditions de Haar. Ainsi, tous ces déterminants ont le même signe.
Dès lors, 0 est dans l'enveloppe convexe des si et seulement si il existe tels que et . Si alors . Or par les conditions de Haar, les forment une base de l'espace et donc tous les sont nuls, ce qui n'est pas car leur somme vaut 1. Donc . De même, pour tout , . En particulier, . En résolvant ce système linéaire par les règles de Cramer, on a
:
Puis,
:
Les déterminants sont tous du même signe, les sont strictement positifs. Donc , c'est-à-dire que les alternent en signe, ou encore que pour tout , .
;Démonstration du théorème d'alternance
Nous allons maintenant utiliser le théorème et le lemme précédemment démontrés pour prouver le théorème d'alternance. Nous prenons les notations de l'énoncé.
Nous avons que est la meilleure approximation de pour la norme uniforme si et seulement si est de norme uniforme minimale. Par le théorème de caractérisation, cela est vrai si et seulement si 0 est dans l'enveloppe convexe des . Il existe donc et avec tels que , ceci viole les conditions de Haar si k < n. Donc nous avons . Quitte à ré-indicer, on prend les dans l'ordre croissant . Par les conditions de Haar, comme dans le lemme, les sont tous non nuls. On applique donc le lemme et l'alternance de signe. Comme les sont positifs, ce sont les qui alternent de signe. Ceci conclut donc la preuve. (fr)
- La démonstration de l'équivalence des points 2.1, 2.2 et 2.3 se fera par implications circulaires.
2.1 ⇒ 2.2 Considérons distincts et . Par l'hypothèse 2.1, on remarque en particulier que la matrice
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est inversible. Il existe donc une unique solution à l'équation Or, cette dernière équation est équivalente à . Il vient ainsi l'existence et l'unicité d'un tuple tel que la interpole les en les .
2.2 ⇒ 2.3 La fonction nulle a clairement strictement plus de racines entre et , car elle en a une infinité. Soit maintenant ayant racines distinctes, notées . La fonction nulle et coïncident en ces points. Par la propriété 2.2, on a donc . Cela entraîne de plus que les sont linéairement indépendantes sinon on aurait duplicité de l'écriture de la fonction nulle, ce qui est interdit par l'hypothèse 2.2.
2.3 ⇒ 2.1 Soient distincts. Supposons que la matrice ne soit pas inversible. Alors ses colonnes sont linéairement dépendantes et donc il existe tels que . Alors sont racines de qui est donc nulle par la propriété 2.3. Toujours par cette propriété, il suit par indépendance des que ce qui est absurde. La matrice est donc inversible et son déterminant est donc non nul. (fr)
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