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| - Satz von Erdős-Kaplansky (de)
- Théorème d'Erdős-Kaplansky (fr)
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| - En mathématiques, plus précisément en algèbre linéaire, on sait qu'un espace vectoriel E de dimension finie est isomorphe à son dual. En revanche, si E est de dimension infinie, il n'est jamais isomorphe à son dual. Cela résulte du théorème d'Erdős-Kaplansky suivant : Théorème — Soit E un espace vectoriel de dimension infinie sur un corps K avec une base indexée par un ensemble I. Alors l'espace dual E* de E est de dimension : En remarquant que card(E*) est, lui aussi, égal à card (KI), on peut encore reformuler le théorème ainsi : Plan de démonstration (fr)
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| - . On utilisera l'axiome du choix et les propriétés des cardinaux vis-à-vis des opérations ensemblistes.
*On montre d'abord que E est isomorphe à l'anneau de polynômes , autrement dit, que la dimension de cet anneau est non seulement, bien sûr, minorée par card, mais en fait, égale à ce cardinal. En effet, cet anneau est la réunion des quand J parcourt l'ensemble des parties finies de I, or chacun de ces sous-espaces est de dimension dénombrable, donc la dimension de leur réunion est majorée par .
*On en déduit que le dual de E est isomorphe à celui de . Or la dimension de ce dernier est minorée par card, car il contient une famille libre de formes linéaires indexée par KI : la famille des applications d'évaluation fa en chaque élément a = i de KI, chacune étant définie par : fa=P.
*Par ailleurs, directement, E* est isomorphe à KI et d'autre part, E* est de dimension inférieure ou égale à son cardinal .
*Finalement, ce qui prouve le théorème.
*Par conséquent E n'est pas isomorphe à son dual, puisqu'il est de dimension strictement moindre, par le théorème de Cantor. (fr)
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| - Plan de démonstration (fr)
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| - En mathématiques, plus précisément en algèbre linéaire, on sait qu'un espace vectoriel E de dimension finie est isomorphe à son dual. En revanche, si E est de dimension infinie, il n'est jamais isomorphe à son dual. Cela résulte du théorème d'Erdős-Kaplansky suivant : Théorème — Soit E un espace vectoriel de dimension infinie sur un corps K avec une base indexée par un ensemble I. Alors l'espace dual E* de E est de dimension : En remarquant que card(E*) est, lui aussi, égal à card (KI), on peut encore reformuler le théorème ainsi : Soit E un espace vectoriel de dimension infinie. Alors la dimension et le cardinal de son espace dual sont égaux, c'est-à-dire dim (E*) = card (E*). Plan de démonstration (Pour une démonstration détaillée, voir par exemple le lien externe ci-dessous). On utilisera l'axiome du choix (nécessaire d'emblée pour parler de dimension) et les propriétés des cardinaux vis-à-vis des opérations ensemblistes.
* On montre d'abord que E est isomorphe à l'anneau de polynômes , autrement dit, que la dimension (d'espace vectoriel) de cet anneau est non seulement, bien sûr, minorée par card(I), mais en fait, égale à ce cardinal. En effet, cet anneau est la réunion des quand J parcourt l'ensemble des parties finies de I, or chacun de ces sous-espaces est de dimension dénombrable, donc la dimension de leur réunion est majorée par .
* On en déduit que le dual de E est isomorphe à celui de . Or la dimension de ce dernier est minorée par card(KI), car il contient une famille libre de formes linéaires indexée par KI : la famille des applications d'évaluation fa en chaque élément a = (ai )i de KI, chacune étant définie par : fa(P)=P(a).
* Par ailleurs, directement, E* est isomorphe à KI (donc a même cardinal) et d'autre part, E* est de dimension inférieure ou égale à son cardinal (comme tout espace vectoriel).
* Finalement, ce qui prouve le théorème.
* Par conséquent E n'est pas isomorphe à son dual, puisqu'il est de dimension strictement moindre, par le théorème de Cantor. (fr)
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