prop-fr:contenu
| - * Une représentation de G est équivalente à Ind' θ si et seulement si W est un sous-K[H]-module de V et V = ⊕c∊G/H cW .
La représentation définie dans la construction vérifie bien ces propriétés : il suffit pour cela de remarquer que K[G] est un K[H]-module libre , de base une transversale à gauche de H dans G. Réciproquement, , c'est-à-dire que deux représentations de G vérifiant ces propriétés sont clairement isomorphes.
* Pour toute sous-représentation θ' de θ, Ind' est une sous-représentation de Ind' .
Si W est un sous-K[H]-module de W alors K[G]⊗K[H]W' est un sous-K[G]-module de K[G]⊗K[H]W.
* Pour toutes représentations θ1 et θ2 de H, on a : Ind' = ⊕.'
Pour tous K[H]-modules W1 et W2, K[G]⊗K[H''] = ⊕. (fr)
- *Soient G le groupe symétrique S, engendré par un 3-cycle c et une transposition t, H le sous-groupe alterné A = {1, c, c}, W = ℂe et θ la représentation de H sur W définie par θ = je. Alors G/H = {H, tH} et Ind' θ est la représentation ρ de G sur V = ℂe⊕ℂe définie par : ρ = e et ρ = je. On montre facilement que ρ est irréductible . C'est donc la représentation irréductible complexe de S de degré 2.
*Soient G le groupe des quaternions Q = {±1, ±i, ±j, ±k}, engendré par i et j, H le sous-groupe {1, i, –1, –i}, W = ℂe et θ la représentation de H sur W définie par θ = ie. Alors G/H = {H, jH} et Ind' θ est la représentation ρ de G sur V = ℂe⊕ℂe définie par : ρ = e et ρ = ie. On vérifie facilement, comme précédemment, que ρ est irréductible. C'est donc la représentation irréductible complexe de Q de degré 2. (fr)
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