| Attributes | Values |
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| rdfs:label
| - Extremalpunkt (de)
- Punkt ekstremalny (pl)
- Punto estremale (it)
- Points et parties remarquables de la frontière d'un convexe (fr)
- 極点 (ja)
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| rdfs:comment
| - Face à un polyèdre convexe de l'espace de dimension 3, qu'il soit familier comme un cube ou plus compliqué, on sait spontanément reconnaître les points où le convexe est « pointu », ses sommets, puis subdiviser les points restants entre points des arêtes et points des faces. Après avoir énuméré trois généralisations des sommets d'un cube, l'article présente deux variantes de la hiérarchie sommet-arête-face qui coïncident pour les polyèdres convexes. (fr)
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| - Pour la première proposition, soit extrémal. Considérons un segment dans contenant . Comme est convexe, l'une au moins de ses extrémités n'est pas dans cet ensemble, donc est égale à . Mais un point de l'intérieur d'un segment ne peut être égal à une extrémité que si le segment est un singleton, donc .
Pour la deuxième proposition, soit une face exposée et un hyperplan d'appui avec . Soit maintenant un segment ouvert qui rencontre —et donc H— tout en étant tracé dans , qui se situe d'un seul côté de : c'est forcément que ce segment est tout entier dans , donc aussi ses extrémités qui sont donc bien dans .
Pour le troisième énoncé, soit une face de dimension , l'hyperplan affine enveloppe affine de et un point de l'intérieur relatif de . Notons , si bien que , et montrons l'inclusion réciproque ; dans cette intention prenons . Alors le segment est à extrémités dans et, parce que est dans l'intérieur relatif de , le segment ouvert correspondant contient des points de . L'extrémité finale de ce segment est donc aussi dans . Vérifions ensuite que est un hyperplan d'appui. Si ce n'était pas le cas, il existerait deux points et de de part et d'autre de . Le segment serait alors un segment à extrémités hors de dont l'intérieur, à l'endroit où il intersecte , rencontre qu'on sait égal à . Or ceci est interdit par la définition d'une face. On a finalement bien écrit sous la forme avec hyperplan d'appui, prouvant qu'elle est exposée.
Passons à la quatrième proposition. Soit un segment ouvert dans rencontrant . A fortiori ce segment rencontre , qui est une face de , donc ses extrémités sont dans . Puisque les faces sont convexes par définition, tout le segment est dans . On a alors un segment dans dont un point de l'intérieur rencontre ; puisque est une face de ses deux extrémités sont dans .
Reste l'énoncé relatif à la partition par les intérieurs relatifs des faces. On va le montrer par récurrence sur la dimension du convexe, l'initialisation étant évidente . Supposons donc le vrai pour les convexes de dimension strictement inférieure à et soit un convexe de dimension .
*La non-vacuité des intérieurs relatifs des faces provient de la condition de non-vacuité exigée des faces elles-mêmes.
*Pour ce qui est de la réunion des intérieurs relatifs, soit un point de . Si est dans l'intérieur relatif de , en remarquant que est lui-même une face, on a exhibé une face dont l'intérieur relatif contient . Si est sur la frontière, soit une face exposée contenant . Par l'hypothèse de récurrence, appartient à l'intérieur relatif d'une des faces de , qui est elle-même par l'énoncé précédent une face de .
*Vérifions enfin que deux intérieurs relatifs de faces sont soit égaux soit disjoints. Soit donc et deux faces de dont les intérieurs relatifs se rencontrent ; notons un point de leur intersection et et leurs enveloppes affines respectives. On va dans un premier temps montrer que ; puisque ces sous-espaces affines passent tous deux par , il suffit pour ce faire de s'assurer qu'ils ont même direction. Soit un vecteur dans la direction de ; comme est dans l'intérieur relatif de , à condition de prendre assez petit, les deux points et sont tous deux dans donc dans , tandis que le segment ouvert qui les joint passe par qui est dans . Comme est une face, les extrémités de ce segment sont aussi dans et appartient bien à la direction de . En échangeant les rôles de et on prouve l'égalité. Une fois cette étape passée, en reprenant le même argument qu'à la troisième proposition, on vérifie que , et de même pour . Ceci prouve que et a fortiori que les intérieurs relatifs de ces deux faces sont égaux. (fr)
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| prop-fr:titre
| - Vérification des énoncés de la section (fr)
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| has abstract
| - Face à un polyèdre convexe de l'espace de dimension 3, qu'il soit familier comme un cube ou plus compliqué, on sait spontanément reconnaître les points où le convexe est « pointu », ses sommets, puis subdiviser les points restants entre points des arêtes et points des faces. Cet article présente quelques définitions qui étendent ces concepts aux ensembles convexes généraux, de dimension quelconque, à la frontière éventuellement incurvée. Une de ces généralisations, le concept de sommet, correspond à l'intuition que l'on peut avoir de cette notion sur un cube (les points d'une sphère ne seront pas des sommets de la boule qu'elle limite). Les points extrémaux peuvent pour leur part être plus nombreux, suffisamment pour permettre de reconstituer tout le convexe par leur enveloppe convexe, et ce même si sa forme est lisse (ainsi tous les points de la frontière d'une boule sont extrémaux). Après avoir énuméré trois généralisations des sommets d'un cube, l'article présente deux variantes de la hiérarchie sommet-arête-face qui coïncident pour les polyèdres convexes. (fr)
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