| prop-fr:contenu
| - Si n est égal à zéro, le groupe est trivial donc nilpotent. (fr)
- Puisque G est résoluble, chaque quotient d'une suite de Jordan-Hölder de G a pour ordre un nombre premier. Cet ordre, divisant celui de G, doit être égal à p. L'énoncé en résulte clairement. (fr)
- Soit n > 0 et supposons la propriété vraie pour toute puissance inférieure ou égale à n - 1. Soit Z le centre du groupe, il est normal et non trivial, donc G/Z est un p-groupe d'ordre une puissance de p inférieure ou égale à n - 1 et est nilpotent. Le fait que G/Z soit nilpotent montre que G l'est.
* Soit G un p-groupe fini d'ordre pn. Pour tout nombre naturel r inférieur ou égal à n, G admet au moins un sous-groupe d'ordre pr. (fr)
- * Tout sous-groupe et quotient d'un p-groupe est un p-groupe.
En effet, un élément d'un sous-groupe H d'un groupe G a le même ordre dans G et dans H, et l'ordre de l'image d'un élément x d'ordre fini par un homomorphisme divise l'ordre de x.
* Si H est un p-sous-groupe normal d'un groupe G et si le quotient G/H est un p-groupe, alors G est un p-groupe.
Soient x un élément de G, q l'ordre de sa classe dans G/H, et r l'ordre de l'élément xq , alors qr est une puissance de p et xqr = 1.
* Un groupe fini est un p-groupe si et seulement si son ordre est une puissance du nombre premier p.
Soit G un groupe fini, d'ordre n. Supposons tout d'abord que n est une puissance de p. Par application du théorème de Lagrange, l'ordre de tout élément de G divise l'ordre n de G et est donc une puissance de p, si bien que G est un p-groupe. Réciproquement, supposons que l'ordre de tout élément de G est une puissance de p et prouvons que l'ordre n de G est une puissance de p. Pour tout diviseur premier q de n, d'après le théorème de Cauchy, G admet un élément d'ordre q, si bien que q est une puissance de p donc q = p. Ainsi, le seul éventuel diviseur premier de n est p, donc n est une puissance de p.
* Dans un p-groupe G, si l'indice d'un sous-groupe H est fini alors cet indice est une puissance de p.
Si H est d'indice fini alors son cœur HG aussi, donc G/HG est un p-groupe fini. Son ordre [G:HG] est alors une puissance de p, si bien que [G:H] aussi.
* Tout p-groupe fini non trivial possède un centre non trivial.
Soit G un p-groupe fini non trivial. Son ordre est donc une puissance non nulle de p. L'étude de l'action par conjugaison de G sur lui-même fournit l'équation aux classes. Elle permet d'exprimer le cardinal du centre Z sous la forme :
:
où les Zi sont des sous-groupes de G distincts de G, donc la somme indexée par i est une somme de puissances non nulles de p. Il en résulte que le cardinal de Z est divisible par p et ne peut donc être égal à 1, ce qui achève la démonstration.
* Tout p-groupe fini est nilpotent donc résoluble.
Tout groupe nilpotent est résoluble, il suffit donc de montrer que G est nilpotent. Démontrons-le par récurrence sur n, l'ordre de G étant supposé égal à pn. (fr)
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