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| - Nullité de la dérivée covariante du tenseur métrique (fr)
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| - La nullité de la dérivée covariante du tenseur métrique d'une variété riemannienne exprime le fait que la même mesure est appliquée en tout point de la variété. En termes mathématiques, elle s'exprime sous la forme : où représente les composantes de la dérivée du tenseur. Cette propriétépeut se démontrer de deux façons :
* par un raisonnement mathématique, en posant explicitement le calcul avec les coefficients de Christoffel ;Démonstration Soit une base locale et le tenseur métrique exprimé dans cette base. Par définition de la dérivée covariante, on a pour tout , et : ou encore : (fr)
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| - La nullité de la dérivée covariante du tenseur métrique d'une variété riemannienne exprime le fait que la même mesure est appliquée en tout point de la variété. En termes mathématiques, elle s'exprime sous la forme : où représente les composantes de la dérivée du tenseur. Cette propriétépeut se démontrer de deux façons :
* par un raisonnement mathématique, en posant explicitement le calcul avec les coefficients de Christoffel ;Démonstration Soit une base locale et le tenseur métrique exprimé dans cette base. Par définition de la dérivée covariante, on a pour tout , et : donc, par définition des symboles de Christoffel : ou encore : Mais l'expression ci-dessus est précisément celle de , dérivée covariante du tenseur g.
* par un raisonnement physique, dans le cadre de la relativité générale. Détail du raisonnement physique : le principe d'équivalence stipule qu'il est toujours possible de trouver un référentiel lorentzien local où les dérivées premières de la métrique sont nulles, c'est-à-dire : . Or, les coefficients de Christoffel ne dépendent que des dérivées premières de la métrique, on a donc : et . Cette relation tensorielle étant vraie dans tout référentiel lorentzien local, d'après le principe d'équivalence, elle l'est également dans un référentiel quelconque.
* Portail des mathématiques (fr)
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