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| - En algèbre linéaire, une matrice carrée d'ordre à coefficients positifs est dite productive, ou de Leontief, s'il existe une matrice colonne à coefficients positifs de format telle que la matrice colonne soit à coefficients strictement positifs. (fr)
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| - :*Implication directe:
:Soit .
:Ainsi la matrice est à coefficients positifs car produit de deux matrices à coefficients positifs.
:De plus, .
:D'où .
:Donc est productive.
:*Implication réciproque:
:Raisonnons ab absurdo.
:Supposons que tel que et que est singulière.
:L'endomorphisme canoniquement associé à n'est pas injectif par singularité de la matrice.
:Ainsi non nulle telle que .
:La matrice vérifie les mêmes propriétés que , on peut donc choisir comme un élément du noyau ayant au moins un terme strictement positif;
:D'où est positif et atteint en au moins une valeur .
:Par définition de et de , nous avons alors:
::
::
:D'où .
:Or nous savons que et que .
:Il y a donc contradiction, ipso facto est nécessairement inversible.
:Supposons désormais que soit inversible mais d'inverse ayant au moins un terme négatif.
:Ainsi telle que possède au moins un terme négatif.
:Alors est positif et atteint en au moins une valeur .
:Par définition de et de , nous avons alors:
::
::
::
:D'où car .
:Or nous savons que .
:Il y a donc contradiction, ipso facto est nécessairement à coefficients positifs. (fr)
- :Soit une matrice productive.
:Alors existe et est à coefficients positifs.
:Or
:Ainsi est inversible d'inverse à coefficients positifs.
:Donc est productive. (fr)
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| - En algèbre linéaire, une matrice carrée d'ordre à coefficients positifs est dite productive, ou de Leontief, s'il existe une matrice colonne à coefficients positifs de format telle que la matrice colonne soit à coefficients strictement positifs. (fr)
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