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| - Approximant de Padé de la fonction exponentielle (fr)
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| - En mathématiques, un approximant de Padé de la fonction exponentielle est une fraction rationnelle h(x)/k(x), où h(x) désigne un polynôme de degré p et k(x) de degré q, telle que le développement limité de la fraction à l'ordre p + q soit identique à celui de l'exponentielle. L'étude de cette question est l'exemple introductif choisi par Henri Padé pour la théorie des approximants portant son nom. La présentation ici correspond à une reformulation de 1899 et un enrichissement d'une partie de son travail de thèse. (fr)
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| - En mathématiques, un approximant de Padé de la fonction exponentielle est une fraction rationnelle h(x)/k(x), où h(x) désigne un polynôme de degré p et k(x) de degré q, telle que le développement limité de la fraction à l'ordre p + q soit identique à celui de l'exponentielle. L'étude de cette question est l'exemple introductif choisi par Henri Padé pour la théorie des approximants portant son nom. L'existence de suites de fractions rationnelles ayant pour limite l'exponentielle est une question déjà abordée avant les travaux de Padé. Leonhard Euler ouvre le bal avec deux expressions dont l'une fournit le développement en fraction continue infinie de e, prouvant ainsi son irrationalité ; Jean-Henri Lambert démontre plus rigoureusement ce développement, Joseph-Louis Lagrange en trouve deux autres et Carl Friedrich Gauss encore un. Le travail de Padé consiste à généraliser ces travaux précédents en vue d'illustrer par un exemple une théorie générale s'appliquant à toute fonction analytique. Il traite cette question sous quatre aspects : il montre l'existence d'un approximant de Padé d'indice (p, q), établit les relations de récurrence permettant de déterminer un approximant d'ordre supérieur, en déduit les différentes expressions sous forme de fractions continues (généralisées) de l'exponentielle et montre la convergence uniforme de certaines suites d'approximants. La présentation ici correspond à une reformulation de 1899 et un enrichissement d'une partie de son travail de thèse. (fr)
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