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| - En mathématiques, la transformation de Laplace est une transformation intégrale, c'est-à-dire une opération associant à une fonction ƒ (définie sur les réels positifs et à valeurs réelles) une nouvelle fonction dite transformée de Laplace de ƒ (notée traditionnellement F et définie et à valeurs complexes), via une intégrale. Remarque : on note traditionnellement t le paramètre générique de ƒ (formant ainsi ƒ(t)), tandis que l'on note plutôt p celui de sa transformée F (on écrit donc F(p)). La transformation de Laplace est injective et par calcul (ou par usage de tables) il est possible d'inverser la transformation. Le grand avantage de la transformation de Laplace est que la plupart des opérations courantes sur la fonction originale ƒ(t), telle que la dérivation, ou une translation sur la variable t, ont une traduction (plus) simple sur la transformée F(p). Ainsi :
* la transformée de Laplace de la dérivée ƒ '(t) est simplement pF(p) – ƒ(0–) ;
* la transformée de la fonction ƒ(t – τ) (translation) est simplement e–pτ F(p). Cette transformation fut introduite pour la première fois sous une forme proche de celle utilisée par Laplace en 1774, dans le cadre de la théorie des probabilités. La transformation de Laplace généralise la transformation de Fourier qui est également utilisée pour résoudre les équations différentielles : contrairement à cette dernière, elle tient compte des conditions initiales et peut ainsi être utilisée en théorie des vibrations mécaniques ou en électricité dans l'étude des régimes forcés sans négliger le régime transitoire. Elle converge pour toutes les fonctions qui, pondérées par une exponentielle, admettent une transformée de Fourier ; par conséquent les fonctions admettant une transformée de Fourier admettent toutes une transformée de Laplace, mais la réciproque n'est pas vraie. De manière générale, ses propriétés vis-à-vis de la dérivation permettent un traitement plus simple de certaines équations différentielles, et elle est de ce fait très utilisée en automatique. Dans ce type d'analyse, la transformation de Laplace est souvent interprétée comme un passage du domaine temps, dans lequel les entrées et sorties sont des fonctions du temps, dans le domaine des fréquences, dans lequel les mêmes entrées et sorties sont des fonctions de la « fréquence » (complexe) p. Ainsi; il est possible d'analyser simplement l'effet du système sur l'entrée pour donner la sortie en matière d'opérations algébriques simples (cf. théorie des fonctions de transfert en électronique ou en mécanique). (fr)
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