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dbo:abstract "Un endomorphisme nilpotent est un morphisme d'un objet math\u00E9matique sur lui-m\u00EAme, qui, compos\u00E9 par lui-m\u00EAme un nombre suffisant de fois, donne le morphisme nul. C\u2019est donc (lorsque les endomorphismes de cet objet forment un anneau) un \u00E9l\u00E9ment nilpotent de cet anneau. En alg\u00E8bre lin\u00E9aire, on consid\u00E8re les endomorphismes (lin\u00E9aires) nilpotents d\u2019un espace vectoriel. Un exemple est donn\u00E9 dans l'illustration. Ils interviennent dans la r\u00E9duction des endomorphismes, c\u2019est-\u00E0-dire la repr\u00E9sentation d'un endomorphisme quelconque sous une forme la plus simple possible. Cette r\u00E9duction sert par exemple pour la r\u00E9solution d'\u00E9quations diff\u00E9rentielles lin\u00E9aires. On retrouve \u00E9galement le concept de nilpotence dans l'\u00E9tude des groupes de Lie, avec l'analyse des alg\u00E8bres de Lie nilpotentes. Les endomorphismes nilpotents d'un espace vectoriel sont l'objet principal de cet article. Lorsque de plus cet espace est de dimension finie, chacun de ses endomorphismes est repr\u00E9sent\u00E9 par une matrice (dans une base de l'espace). L'endomorphisme est alors nilpotent si et seulement s'il a une matrice nilpotente, ce qui, par le calcul, permet une approche plus concr\u00E8te du concept (toutes les propri\u00E9t\u00E9s g\u00E9n\u00E9rales des endomorphismes nilpotents ont leur pendant dans le contexte plus particulier des matrices nilpotentes), et offre d'importantes applications pratiques."@fr .
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